2017年烟台大学数学与信息科学学院730数学分析考研题库
● 摘要
一、证明题
1． 设正项级数
(1) (2) 由
发散.
用分点单调性，得
从而
当
时，
即得结论.
因单调下降且趋于0, 及
发散. 所以
有
故由收敛原理知
2． 设
是有界闭集，
因为
由此不等式知
则由条件有
这与
的最小性相矛盾，故
即
若有另外一个
使
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发散
，
令求证：
【答案】(1) 把
及
分成无限个小区间，在上，
(2) 方法一：
我们考虑级数
故级数
收敛，于是由第(1) 小题推出级数方法二：因对任意固定的
使于是对
发散.
如果
都满足
则A 中
有且仅有一点X ，使得
【答案】令
为有界闭集A 上的连续函数，
因此存在
使
如果
则
矛盾，故不动点惟一。
3． 设
符号一致. 又因为
的最大零点为所以
证明因此
上恒正或恒负. 即
的
【答案】因为是f (x ) 的最大零点，所以f (x ) 在
二、解答题
4． 求下列函数在给定区间上的最大最小值：
【答案
】
故舍去.
-10, 在
处取最大值2。
由
即
知
于是，当
（3）
故函数在
时，函数取最大值1。又因
由
处取最小值，最小值为
得稳定点
又因
当
时，
最小值不存在。 当
时
，
（2）令
由方
程
得稳定
点
由
于处取最小值
比较它们的大小知，函数在
故最大值不存在。
5． 计算沿空间曲线的第二型曲线积分：
(1) (2
)
线，其方向按曲线依次经过
【答案】(1) 曲线的参数方程为
依次经过1，2, 7, 8卦限，于是
(2) 记球面图所示，则
与xy 平面的交线为
与yz 平面的交线为
与zx 平面的交线为
如
其中L 为
与
相交的圆，其方向按曲线依次经过其中，L 为球面
平面部分，yz 平面部分和zx 平面部分.
当从0增加到
时，
点卦限；
在第一卦限部分的边界曲
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图
其中
依
同理，
所以
6． 设V （t ）是曲线
【答案】由旋转体体积公式可得
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. 在上的弧段绕x 轴旋转所得的体积，试求常数c ，
使
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