2017年延安大学数学与计算机科学学院716数学分析考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、证明题
1． 设定义在
上连续函数列
满足关系
对于在
的可积函数f ，定义
证明
收敛，且有不等式
【答案】设
依题意可知
均在
上可积
.
其中
所以故即级数 2． 设
【答案】令
求证：
显然有
于是
3． 证明：函数
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的部分和有上界，从而
收敛，且
有无穷多个极大值，但无极小值. 【答案】
令
解方程组可得无穷多个驻点
此时
故f (x ，y ) 在驻点当n 为奇数时，驻点为f (x , y ) 在
处取得极大值，极大值为
此时
处无极值. 综上知，f (x , y ) 有无穷多个极大值，但无极小值.
当n 为偶数时，驻点为
二、解答题
4． （1）举出一个连续函数，它仅在已知点
（2）举出一个函数，它仅在点【答案】（1）由于函数仅在
处不可导，其他点处可导，进而
可导.
仅在原点不可导，其余点可导，从而也连续，从而
或
仅在点仅在已知
不可导；
处不可导，其余点可导，依此进行，
可得函数点
不可导.
（2）由于狄利克雷函数
仅在
在
处处不可导，不连续，可知
处可导且导数为〇, 其他点不可导，进而
仅
仅在点
处可导，其他点不可导，依此进行，
可得函数
处可导，其中D （x ）为狄利克雷函数.
5． 试改变下列累次积分的顺序：
【答案】(1) 积分区域
如图1由于V 在xy 平面上的投影区域
图 1
从而
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由于V 在从而
由于V 在从而
(2) 积分区域
如图
2
平面上的投影区域
平面上的投影区域
图 2
由于V 在xy 平面，yz 平面zx 平面上的投影区域分别为
如图3所示
.
图 3
从而
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