2017年湖北师范大学概率论与数理统计考研复试核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 某人声称他能根据股票价格的历史图表预报未来股市的涨跌，若在一场测试中，他共作了10次预测，报对8次.
（1）在显著性水平0.05下，能否相信他具有这种能力？ （2）对什么样的显著性水平，可相信他具有这种能力？
【答案】我们先对问题作一简单分析：若该人有预测能力，则他预测正确的概率应该大于1/2, 若他没有预测的能力，则他胡乱猜测也有50%猜对的可能，现以X 表示他预测10次预测正确的次数，则
要检验的一对假设为
若拒绝原假设，则可相信该人有预报能力，否则不能相信他有预报能力，由于检验拒绝域形如
故检验的p 值为
对此p 值作一些讨论：
（1）由于检验的p 值大于显著性水平
对具体可算出
故应不拒绝原假设，不能相信他具有预报未来
的值，如
则
可见随着的增加，犯第二类错时拒绝原假设，譬如，若取
股市的涨跌的能力，在不拒绝原假设时可能犯第二类错误，犯第二类错误的概
率
类似可算得误的概率在变小.
（2）我们知道，当p<α时应拒绝原假设，因此，当
因为则拒绝原假设，可相信他有这种能力.
2． 由某机器生产的螺栓的长度（cm ）服从正态分布10.05±0.12内为合格品，求螺栓不合格的概率.
【答案】记螺栓的长度为X ，则
若规定长度在范围
3． 为比较正常成年男女所含红血球的差异，对某地区156名成年男性进行测量，其红血球的样本均值为465.13（万/mm）, 样本方差为样本均值为422.16，样本方差为差异？（取
）.
和
首先要检验两正态总体方差是否相等，为此先检验
为此使用F 检验，则检验的拒绝域为或
本题中，n=156, m=74，并已知
而
因此观察样本不在拒绝域，即不能否定
可用t 检验，则检验的拒绝域为：直接计算得t=5.96, 而
从而我们可在
因此应拒绝原假设，即该地区正常成年男女所含
的条件下进一步检验
2
对该地区74名成年女性进行测量，其红血球的
试检验：该地区正常成年男女所含红血球的平均值是否有
【答案】设该地区正常成年男女所含红血球数分别记为X 和Y ，
并设
由此可知检验统计量下的取值为
红血球的平均值有显著性差异，由于此问题中样本量很大，故采用渐近正态分布作检验也是合适的，结果是一致的.
4． 统计调查表明，英格兰在1875年至1951年期间，在矿山发生10人或10人以上死亡的两次事故之间的时间T （以日计）服从均值为241的指数分布. 试求P （50 【答案】 5． 一个人的血型为A ，B ，AB ，0型的概率分别为0.37，0.21，0.08，0.34. 现任意挑选四个人，试求： （1）此四人的血型全不相同的概率； （2）此四人的血型全部相同的概率. 【答案】（1）若第1，2，3，4人血型依次为A ，B ，AB ，0. 则“四人的血型全不相同”共有种可能情况，而每种情况出现的概率都是（2）所求概率为 6． 从一副52张的扑克牌中任取5张，求其中黑桃张数的概率分布. 【答案】记X 为取出的5张牌中黑桃的张数，则X 的可能取值为0，1，2，3，4，5. 将52张牌分成两类：一类为13张黑桃，另一类为39张除黑桃外的其他花色，则由抽样模型得 于是所求概率为 7． 设总体X 的分布函数为 是来自总体的简单随机样本，（1）求 量；（3）是否存在常数a ，使得对任意的 都有 其中为未知的大于零的参数 ， ；（2）求 的极大似然估计 【答案】（1）由题意，先求出总体X 的概率密度函数 （2）极大似然函数为则当所有的观测值都大于 零时 ， （3）由于可知 令 得 的极大似然估计量为 独立同分布，显然对应的 由辛钦大数定律， 可得 故存在常数 使得对任意的 都有 也独立同分布，又有（1） 再由（1）（2）可知 ， 8． 将12个球随意地放入3个盒子中，试求第一个盒子中有3个球的概率. 【答案】将12个球随意放入3个盒子中，所有可能结果共有 个，而事件“第一个盒子中有 种可能；第二 3个球”可分两步来考虑：第一步，12个球中任取3个放在第一个盒子中，这有 步，将余下的9个球随意放入第二个和第三个盒子中，这有29种可能，于是所求概率为