2017年湖北师范大学概率论与数理统计复试仿真模拟三套题
● 摘要
一、计算题
1． 已知事件A ，B 满足
【答案】因为
由此得
所以
2． 设随机变量X 服从区间（2，5）上的均匀分布，求对X 进行3次独立观测中，至少有2次的观测值大于3的概率.
【答案】在一次观测中，观测值大于3的概率为
设Y 为此种观测（X>3）的次数，则Y 〜b （3，2/3），由此得
3． 已知在文学家萧伯纳的An Intelligent Woman’s Guide To Socialism.—书中，一个句子的单词数X 近似地服从对数正态分布，即中的单词数分别为
求该书中一个句子单词数均值. 【答案】正态分布
的最大似然估计.
的参数的最大似然估计分别为样本均值和方差. 即
由于最大似然估计具有不变性，因而
4． 设随机变量X 的分布函数为
的最大似然估计为
今从该书中随机地取20个句子，这些句子
记P （A ）=P，试求P （B ）.
试求
【答案】X 的密度函数为
所以
由此得
5． 某地区成年男子的体重X （kg ）服从正态分布
0.25.
（1）求. 少？
【答案】（1）由
知
由此解得即，
又由
查表知
由此解得
其中
所以“5名中至少有两人体重超过65kg”的概率为
6． 设伽玛分布，即
【答案】
是来自如下总体的一个样本
，求的后验期望估计. 与的联合分布为
于是的后验分布为
若已知
各为多少？
（2）若在这个地区随机地选出5名成年男子，问其中至少有两人体重超过65kg 的概率是多
（2）记Y 为选出的5名成年男子中体重超过65kg 的人数，则
若取的先验分布为
这是一个伽玛分布因而的后验期望估计为
7． 某班n 个战士各有1支归个人保管使用的枪，这些枪的外形完全一样，在一次夜间紧急集合中，每人随机地取了1支枪，求至少有1人拿到自己的枪的概率.
【答案】这是一个配对问题. 以A ；记事件“第i 个战士拿到自己的枪”，i=l，2，…，n. 因为
所以由概率的加法公式
得
当n 较大时，上式右端近似于
8． （巴拿赫问题）某数学家有两盒火柴，每盒都有n 根，每次使用时，他任取一盒并从中抽出一根，问他发现一盒空而另一盒还有是此概率的2倍.
先计算样本空间中的样本点个数，因为每次都是等可能地取A 盒或B 盒，共取了2n —r+1次，故样本空间中共有
个样本点.
个，因此
事件E 发生可分两段考察，前2n —r 次中A 盒恰好取到n 次，且次序不论，最后一次（第2n_r+l次）必定取到A 盒，这样才能发现A 盒已空，此种样本点共有
所求概率为
譬如，取
可算得
根的概率是多少？
【答案】由对称性知，只要计算事件E=“发现A 盒空而B 盒还有r 根”的概率即可，所求概率