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一、证明题

1． 设

求证

注意到

则有

2． 试应用

定义证明

肘，

从而对任给

取

则当

时，

所以 3． 设在

证明

在

【答案】

因为

内成立不等式

上一致收敛且绝对收敛.

关

于都笮

一致收敛，所以

任给. 因为

，

存在所以

即

一致收敛且绝对收敛.

对

任何

.

若

在

上一致收敛，

【答案】因为当【答案】不妨设

4． 用有限覆盖定理证明根的存在性定理。

【答案】根的存在定理：若函数f 在闭区间点

使得

假设方程

性知，对每一点符号. 于是，所有的来覆盖

在形成

内无实根，

则对每一点

使得

在

有

由连续函数的局部保号内保持与

相同的它的

存在x 的一个邻域

上连续，且

与

异号，则至少存在一

的一个开覆盖. 根据有限覆盖定理，从中可以选出有限个开区间

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把这些开区间的集合记为S , 则点a 属于S 的某个开区间，设为

右端点盖

.

又属于S 的另一个开区间，设为

使得

在

内也具有

在每一个所以

内保持同一个符号.

在

内

的符号. 以此类推，

使得

以此类推，经过有限次地向右移

这n

个开区间显然就是

与与

的一个开覆

具有相同的符号.

因为

具有相同的符号. 这与

动，

得到开区间

与异号矛盾. 故至少存在一点

5． 设f 为上的光滑函数，且傅里叶系数，证明

为f 的傅里叶级数

为f 的导函数的

【答案】因为f

为又

故

上的光滑函数，所以f (x ) 在上有连续的导函数

即

6． 设函数，的周期为2π，且

【答案】傅里叶系数

试利用，的傅里叶展开计算

的和数.

由于f (x ) 在

上连续，由收敛定理知对

有

在端点x=0和

处，其傅里叶级数收敛于

令

有

二、解答题

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7． 利用定积分求下列极限：

【答案】⑴

因为

所以

故

（2）

当

时，

所以

从而

当当

时，

时，

即

所以所以

（3）因为

而

由迫敛性知

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