2018年杭州电子科技大学理学院601数学分析考研强化五套模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设
【答案】
下证
是数列
（反证法）. 假设x 0不是数列因
为
对
, 则一定
有
矛盾. 于是必有
此
,
是数列
的一个聚点.
, 其中
, 因为
所以函数f （x ）在所以
3． 证明:
【答案】
于是, 对于有界性定理知, 存在
故
4． 设f 为
（1）
上的连续函数, 证明: 在
上收敛；
, 存在
, 使得当
时. 对, 有
. 在[—M , M]上, 由连续函数的
. 于是, 对于一切
, 使得当
, 即
为有界函数.
上是凸函数. 因此
.
, 而
,
‘试证:数列的一个聚点.
不含有数列
, 所以存在自然数来说,
或者
N ,
当
时,
有
|
这是因为
于
是
即
.
不妨设. 这
与
的聚点. 矛盾. 因
或者
的任意一项. 这里
的聚点, 则存在
的聚点全体恰为闭区间
如若不然, 则
有
这说明B 不可能是数列
2． 证明:
【答案】令
为有界函数.
（2）
在上一致收敛的充要条件是f （1）=0.
上连续, 故f 在即
在
上有界, 设上收敛, 且收敛于
【答案】 （1）因f 在所以
（2）必要性 由
可得其极限函数g （x ）在充分性 可考虑将因为f （l ）=0, 故当当
时,
在
分成两部分讨论.
上连续及在
上一致收敛,
上连续, 从而.
又因f （x ）在x=l处连续, 故对任意
存在
时, 有
故对上述的当n>N时, 任意的
5． 设
（1）若（2）若【答案】（1）
6． 设f （z ）是在
（1）明：级数
【答案】
存在N , 当n>N时, 对一切
有, 求证:
, 则f 为单射, g 为满射;
故
总有在
所以,
上一致收敛.
, 则f 与g 互为反函数.
, 由条件得
, 即
使得即f 为单射.
, 故g 为满射; 若
则由条件推出
内的可微函数，且满足：
（2
）绝对收敛.
其中0 证 即这里 由比值判别法知 绝对收敛. 二、计算题 7． 计算二重积分 其中 是双纽线 , 则双纽线方程为 围成的区域. （如图）: 【答案】令 图 由于区域和被积函数关于x 轴对称, 故 8． 设 求证:f （x ）在【答案】 由 , 且 上一致连续. 推知 . , 使得当, 又由 , 推知 使得当 时, 有 , 所以f （x ）在 , 另一方面, 因为函数 使得 这样, 当 若若若或 （x ）在（- 9． 设 （1）求证:（2）求【答案】（1） 时, 有 上一致连续, 于是 且 由（1）式得, , 由（2）式得, 则有）上一致连续. , ; . 时 , 由（3）式知 , 根据定义, 即得f