2017年太原理工大学数学学院概率论复试仿真模拟三套题
● 摘要
一、计算题
1． 甲、乙两选手进行乒乓球单打比赛，已知在每局中甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4. 比赛可采用三局二胜制或五局三胜制，问哪一种比赛制度对甲更有利？
【答案】（1）若采用三局二胜制，则甲在下列两种情况下获胜：
所以得
（2）若采用五局三胜制，则甲在下列三种情况下获胜：
=“前三局甲胜”，
=“前三局中甲胜两局乙胜一局，第四局甲胜”，
=“前四局甲乙各胜二局，第五局甲胜”， 所以得
所以五局三胜制对甲更有利.
2． 某种设备的使用寿命X （以年计）服从指数分布，其平均寿命为4年. 制造此种设备的厂家规，若设备在使用一年之内损坏，则可以予以调换. 如果设备制造厂每售出一台设备可赢利100元，定
而调换一台设备制造厂需花费300元. 试求每台设备的平均利润.
【答案】令
即Y 是一台设备在使用一年之内损坏的台数，显然Y 〜b （1，p ），其中
因为每台设备的利润为Z=100-300Y，所以每台设备的平均利润为
3． 统计调查表明，英格兰在1875年至1951年期间，在矿山发生10人或10人以上死亡的两次事故之间的时间T （以日计）服从均值为241的指数分布. 试求P （50 【答案】 4． 系统由n 个部件组成. 记为第i 个部件能持续工作的时间, 如果独立同分布, 且 试在以下情况下求系统持续工作的平均时间: （1）如果有一个部件停止工作, 系统就不工作了； （2）如果至少有一个部件在工作, 系统就工作. 【答案】因为 所以 的密度函数和分布函数分别为 （1）根据题意, 系统持续工作的时间为 而当t>0时 这是参数为 的指数分布, 所以 所以, 当t>0时 所以系统持续工作的平均时间为 5． 一海运货船的甲板上放着20个装有化学原料的圆桶，现已知其中有5桶被海水污染了. 若从中随机抽取8桶，记X 为8桶中被污染的桶数，试求X 的分布列，并求E （X ）. 【答案】因为X 的可能取值为0，1，2，…，5，且 将计算结果列表为 表 由此得 6． 口袋中有7个白球、3个黑球，从中任取两个，求取到的两个球颜色相同的概率. 【答案】两个球颜色相同有两种情况：全是白球，全是黑球，所以仿抽样模型可得 所以, 当t<0时, 密度函数 （2）根据题意, 系统持续工作的时间为 7． 为研宄某型号汽车轮胎的磨耗，随机选择16只轮胎，每只轮胎行驶到磨坏为止，记录所行驶路程（单位：km ）如下： 未知，求的置信水平为0.95的单侧置信下 s=1346.84, 利用未知场合的的单 代入可得 8． 设一页书上的错别字个数服从泊松分布 有两个可能取值：1.5和1.8, 且先验分布为 现检查了一页，发现有3个错别字，试求λ的后验分布. 【答案】 因此 由以上结果我们可以得到λ的后验分布 假设这些数据来自正态总体限. ，其中 【答案】先计算样本均值与样本标准差s ，侧置信下限 ，这里n=16, 二、证明题 9． 设连续随机变量X 的密度函数P （X ）关于c 点是对称的，证明：其分布函数F （x ）有F （c-x ）=1-F（c+x） ， 由 对上式右端积分作变量变换y=c-t，则 再对上式右端积分作变量变换z=c+y，则 结论得证. 对称分布函数的这个性质可用图表示： 【答案】由p （x ）关于c 点是对称的，知
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