2017年太原理工大学数学学院概率论考研复试核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 设总体概率函数如下，
（1）（2）
【答案】（1）似然函数为
是样本，试求未知参数的最大似然估计.
其对数似然函数为
将InL （θ）关于θ求导并令其为0即得到似然方程
解之得
由于
所以
的最大似然估计.
其对数似然函数为
将
关于求导并令其为0得到似然方程
解之可得
由于
这说明
的最大似然估计.
（2）似然函数为
2． 根据调查, 某集团公司的中层管理人员的年薪数据如下（单位:千元）:
试画出箱线图.
【答案】这批数据n=48, 最小值为第三四分位数分别为
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最大值为中位数、第一四分位数和
于是可画出箱线图如图
图
3． —个罐子里装有黑球和白球，有放回地抽取一个容量为n 的样本，其中有k 个白球，求罐子里黑球数和白球数之比R 的最大似然估计.
【答案】解法1 记P 为罐子中白球的比例，令Xi 表示第i 次有放回抽样所得的白球数，
则
，故p 的最大似然估计为
因为黑球数与白球数比值
根据最大似然估计的不变性，有
对具体的样本值即n 个抽到k 个白球来讲，R 的最大似然估计为从中有放回的抽一个球为白球的概率为
从罐中有放回的抽n 个球，可视为从二点分布
表
中抽取一个样本容量为n 的样本. 当样本中有k 个白球时，似然函数为
， 其对数似然函数为InL （R ）=（n-k ）lnR-nln （1+R）将对数似然函数对R 求导，并令其为0, 得似然方程解之可得所以
由于其对数似然函数的二阶导数为
是R 的最大似然估计.
譬如，在n=10, k=2场合，R 的最大似然估计
即罐中黑球数与白球数之比的最大
解法2 设罐子里有白球1个，则有黑球R1个，从而罐中共有（1+R）1个球.
似然估计为4, 若白球1个，黑球为4个；或者白球2个，黑球为8个等.
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4 设从两个方差相等的独立正态总体中分别抽取容量为15, 20的样本, 其样本方差分别为．求
【答案】不妨设正态总体的方差为利用统计软件计算可算出
譬如, 可使用MA TLAB 软件计算上式:在命令行输入
）就表示自由度为
的F 分布在x 处的分布函数. 则有
, 于是
试
.
则给出0.0798,
这里的
5． 设事件A 和B 互不相容，且P （A ）=0.3，P （B ）=0.5，求以下事件的概率：
（1）A 与B 中至少有一个发生： （2）A 和B 都发生； （3）A 发生但B 不发生. 【答案】⑴（2）（3）
6． 在检查了一个车间生产的20个轴承外座圈的内径后得到下面数据（单位：mm ）:
（1）作正态概率图，并作初步判断；
（2）请用W 检验方法检验这组数据是否来自正态分布（【答案】（1）a. 首先将数据按从小到大的顺序排列：
b. 对每一个i ，计算修正频率
表
1
结果见表：
）.
具体数据为
c.
将点，得到内径数据的逐一描在正态概率图上（利用软件）
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