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一、计算题

1． —条自动化生产线上产品的一级品率为0.8，现检查5件，求至少有2件一级品的概率.

【答案】记X 为检查5件产品中的一级品数，则

2． 设随机变量

【答案】因为

所以

偏度系数和峰度系数分别为

3． 设曲线函数形式为

试给出一个变换将之化为一元线性回归的形式.

所求概率为

，对k=l，2，3，4，求

与

，进一步求

此分布的偏度系数和峰度系数.

【答案】本题相对于前两题来说，变换形式稍显复杂，根据原函数形式，可考虑作如下变换：

变换后的线性函数为则最后的回归函数化为

4． 口袋中有10个球，分别标有号码1到10, 现从中不返回地任取4个，记下取出球的号码，试求：

（1）最小号码为5的概率； （2）最大号码为5的概率.

【答案】从10个球中任取4个，共有

种等可能取法，这是分母，而分子有两种解法. 进一步，可将之规范化，令

解法一 记A=“最小号码为5”，B=“最大号码为5”.为求事件A 与B 的概率，可将球号1到10分成三组：

事件A 发生必须从第2组中取1个、从第3组中取3个，这共有事件B 发生必须从第2组中取1个、从第1组中取3个，这共有

解法二 记X 为取出球的最小号码，Y 为取出球的最大号码，则

种取法，故种取法，故

这里用到概率的减法性质，详见1.3中性质1.3.4.

5． 检查四批产品, 其批量与不合格品率如下:

表

试求这四批产品的总不合格品率. 【答案】这批产品的总不合格品率为

6． 某电子计算机主机有100个终端, 每个终端有80%的时间被使用. 若各个终端是否被使用是相互独立的, 试求至少有15个终端空闲的概率.

【答案】记X 为100个终端中被使用的终端个数, 则极限定理, 所求概率为

这表明至少有15个终端空闲的概率近似为0.9155.

7． 从一副52张的扑克牌中任取5张，求其中黑桃张数的概率分布.

【答案】记X 为取出的5张牌中黑桃的张数，则X 的可能取值为0，1，2，3，4，5. 将52张

. 利用棣莫-拉普拉斯中心

牌分成两类：一类为13张黑桃，另一类为39张除黑桃外的其他花色，则由抽样模型得

8． 下表是经过整理后得到的分组样本:

表

试写出此分组样本的经验分布函数. 【答案】样本的经验分布函数为

二、证明题

9． 设A ，B 为任意两个事件，且

【答案】

10．在回归分析计算中，常对数据进行变换：

其中

平方和之间的关系；

（2）证明：由原始数据和变换后数据得到的F 检验统计量的值保持不变. 【答案】（1）经变换后，各平方和的表达式如下：

所以由原始数据和变换后数据得到的最小二乘估计间的关系为

则成立.

是适当选取的常数.

（1）试建立由原始数据和变换后数据得到的最小二乘估计、总平方和、回归平方和以及残差