2018年郑州大学联合培养单位洛阳师范学院915高等代数考研核心题库
● 摘要
一、分析计算题
1． 设
求证
【答案】设
有
， . 但得再用即得到因此
2． 设
是线性空间V 上的线性变换，如果
线性无关.
，
用
，故
上式成为
作用于此式两端，可得
线性无关.
是数域P 中互不相同的数，
是数域中任一组给定的数，用
使
【答案】设数域P 上满足条件
将
代入
得
看成
的线性方程组. 未知量与方程的个数都等于n , 其系数行列式为
次多项式
. 由
，得
. 这样继续作下去，
作用于此式两端. 由
于
，但
克拉默法则证明:存在惟一的数域P 上的多项式
这是一个范德蒙德行列式. 因
为
各不相同,
所以
存在且惟一.
根据克拉默法则,
有解且惟一. 所以满足题设条件的多项式
3． 计算n 级行列另的值，其中
【答案】将升阶
4． 设3阶方阵A 的特征矩阵,
与
等价,
（1）求
的标准形；
（2）求A 的若当标准形. 【答案】 （1）由故A 的初等因子为所以
的标准形为
与
等价知,
与
等价.
从而A 的不变因子为
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（2）据A 的初等因子可得A 的若当标准形为
5． 已知3阶矩阵A 与三维列向量X ，使得向量组
（1）记
（2）计算行列式【答案】（1）设
，求3阶矩阵
B ，使.
，则由
得
线性无关，且满足
；
上式即
因为
结合由式①可得由式②可得由式④可得从而
（2）由（1）得
6． 设A 的特征多项式为
与
相似，所以，
证明
与A 相似, k 是正整数.
线性无关.
【答案】由若当定理知, 存在可逆矩阵P , 使得