2018年浙江大学地球科学学院601高等代数考研核心题库
● 摘要
一、选择题
1． 设行列式
，则方程，为
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B
的根的个数为（ ）
【解析】因为将原行列式的第1列乘（-1）分别加到其他3列得
有两个根
2． 设A 、B 为满足
的任意两个非零矩阵. 则必有（ ）.
A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 【答案】A 【解析】方法1:设设
由于性相关. 又由方法2:设考虑到
即
知
，
由已知及以上证明知B' 的列线性相关，即B 的行向量组线性相关.
由于
所以有
所以有
可推得AB 的第一列
并记A 各列依次为
从而
线
由于
不妨
故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关. 3． 设是非齐次线性方程组的两个不同解，
为任意常数，则Ax=b的通解为（ ）
A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为但D 中
所以
不一定线性无关. 而
，因此
是的基础解系，
不是的特解，从而否定A ，C.
由于故 4． 设
是
，因此
线性无关，且都是
知则3条直线
①
（其中A. B. C. 秩D.
线性相关，
【答案】D 【解析】令其中
秩由秩
. ，可知
则方程组①可改写为
②
则3条直线交于一点
线性无关，由秩
可知1
线性相关，即
可由
线性表出，
方程组①有惟一解
方程组②有惟一解
线性相关 线性无关
线性无关
）交于一点的充要条件是（ ）
的解. 是
的特解，因此选B.
的基础解系. 又由
从而可由线性表出. 线性相关，故选D.
5． 设向量组线性无关，则下列向量组中，线性无关的是（ ）.
A.
C. D.
【答案】C 【解析】方法1:令
则有
由
线性无关知，
该方程组只有零解方法2:对向量组C ，由于
从而
线性无关，且
因为
所以向量组
线性无关.
线性无关.
二、分析计算题
6． 用初等对称多项式表出下列n 元对称多项式：
表示所有由
（【答案】
经过对换得到的项的和. ）
7． 设是欧氏空间V 的线性变换, 试证下面命题等价:
（1）为正交变换；
（2）保持向量长度不变, 即对（3）若【答案】
为标准正交基底, 则设
则
两边开方, 并注意向量长度非负, 可得设
为V 的一组标准正交基, 则
也是标准正交基底.