2016年南通大学理学院数学学科基础综合之高等数学复试笔试最后押题五套卷
● 摘要
一、计算题
1． 计算下列曲面积分：
，其中是界于z=0及z=H之间的圆柱面
，
的外侧；
，其中为半球面
，其中为球面
【答案】（1）将分成zOx 面上的投影区域均为
1和
2两片，
1为
；
其
中
为
锥
面
的上侧； 的外侧。 ，
2为
，1和2在
又由于被积函数关于y 是偶函数，积分曲面
1和
2关于
zOx 面对称，故
由此得
（2）添加辅助曲面
所包围的空间闭区域上应用高斯公式得
，取上侧，则在由
和
1
于是
其中在计算
。
时，由对称性易知
故
从而得原式（3）添加辅助曲面所围成的空间闭区域
上应用高斯公式得
，取下侧，则在由
和
1
于是
（4）解法一：将分成为
1和
其中2两片，
取下侧。（图）。于是
1和
2在
取上侧；
xOy 面上的投影区域均
因而
图
解法二：应用高斯公式计算。 添加辅助曲面
；（取后侧）
，则有
（取左侧）
在由，
3和
4所围成的空间闭区域
上应用高斯公式，得
2． 利用柱面坐标计算下列三重积分：
（1）（2）
【答案】（1）由
，其中
是由曲面，其中
是由曲面和
及
及平面
消去Z ，得
从而知可表示为
在
面上的投影区域为
（图）。利用柱面坐标
，
所围成的闭区域； 所围成的闭区域。
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