2017年上海交通大学理学院(数学系)828高等代数考研题库
● 摘要
一、计算题
1． 设有一根细棒，取棒的一端作为原点，棒上任意点的坐标为x ，于是分布在区间[0，x]上细棒的质量m 是x 的函数m=m（x ）。应怎样确定细棒在点x 0处的线密度（对于均匀细棒来说，单位长度细棒的质量叫做这细棒的线密度）?
【答案】在区间[x0，x 0+△x]上的平均线密度为
在点x 0处的线密度为
2． 判定下列级数的收敛性：
【答案】（1）知原级数发散。
（2）（3
）
而级
数
据比值审敛法知
（4）
敛法知原级数发散。
（5）
因
由于一般项不趋于零，故级数发散。
是收敛的（事实上
，
因
而级数
发散，故由极限形式的比较审敛法
，故由比较审敛法知原级数收敛。 收敛）而级数
发散，故由极限形式的比较审
由比值审敛法知，当a<1时，级数收敛，当a>1时级数发散。 当a=1时，原级数成为
由p-级数的结论知，当s>1时级数收敛，当s ≤1时级数发散。
3． 求均匀曲面
【答案】设质心位置为在xOy 面上的投影区域
的质心的坐标。
。由对称性可知质心位于z 轴上，故
。由于
。
又的面积
，故
所求的质心为
4． 设球体占有闭区域
点到坐标原点的距离的平方。试求这球体的质心。
【答案】在球面坐标系中，可表示为
球体内任意一点（x ，y ，z ）处的密度大小为
由于球体的几何形状及质量分布均关于z 轴对称，故可知其质心位于z 轴上，
因此
。
，它在内部各点处的密度的大小等于该
故球体的质心为
。
5． 己知制作一个背包的成本为40元, 如果每一个背包的售出价为x 元,
售出的背包数由
给出, 其中a , b 为正常数。问什么样的售出价格能带来最大利润?
【答案】设利润函数为p （x ）, 则
令由
, 得
知
（元）
为极大值点, 又驻点惟一, 这极大值点就是最大值点, 即售出价格
定在60元时能带来最大利润。
6． 求直线
在平面
上的投影直线的方程.
【答案】作过已知直线的平面束，在该平面束中找出与已知平面垂直的平面，该平面与已知平面的交线即为所求.
设过直线得由得
. 代入平面束方程，得
的平面束方程为
. 因此所求投影直线的方程为
7． 某厂生产如图所示的扇形板，半径R=200mm，要求中心角a 为55°。产品检验时，一般用测量弦长1的办法来间接测量中心角α，如果测量弦长1时的误差角测量误差
是多少?
，问由此而引起的中心
图
【答案】如图，由故
当
时，
得