2017年上海海洋大学中国水产科学研究院(联合培养)611高等数学考研题库
● 摘要
一、填空题
1． 直线L :
【答案】
在平面π：x-y-3z+8=0上的投影方程为_____。
【解析】先求出一平面π1，使它过L 且垂直于平面π，设L 的方向向量为s ，π1的法向量为n 1，π的法向量为n ，则
而
在方程即
在π上的投影既在平面π上又在平面π1上，因此 2． 曲面
【答案】【解析】构造函数
将点
代入上式，即可得此点处切平面的法线向量为
3． 下题中给出了四个结论，从中选出一个正确的结论:
设函数f （x ，y ）在点（0，0）的某邻域内有定义，且则有（ ）.
曲面
在点
的一个法向量为
，
，
，故切平面方程为
在点
，则
处的切平面方程为_____。
为所求。
中令x=0, 得y=4, z=-1, 则π1的方程为
曲线曲线【答案】（C ）
在点在点
的一个切向量为
的一个切向量为
【解析】函数f （x ，y ）在点（0，0）处的两个偏导数存在，不一定可微分，故（A ）不对. 由于函数存在偏导数不能保证可微分，从而不能保证曲面z=f（x ，y ）在点（0，0，f （0，0））处存在切平 面，因而（B ）不对; 若z=f（x ，y ）在点（0，0，f （0，0））处存在连续偏导数，曲，而不是（3，-1，1），故（B ）也不对. 面在该点处有切平面，其法向量是（3，-1，-1）
取x 为参数，则曲线x=x，y=0，z=f（x ，0）在点（0，0，f （0，0））处的一个切向量为（l ，0，3），故 （C ）正确. 4． 已知
【答案】【解析】等式
连续，且
两端同时积分得
，则
_____。
由奇偶数和对称性知
则
5． 设
【答案】
则以
为边的平行四边形的面积为_____。
【解析】由于以两个向量为边的平行四边形的面积，等于这两个向量的向量积的模，则
的向量积为
故以 6．
【答案】【解析】对
作变量代换。令x=t+1，则t=x-1, dt=dx，则
由右图可知原式= 7． 设
【答案】0
【解析】考察旋度的计算。
，其中
则
_____。
=_____。
为边的平行四边形的面积，即为
的向量积的模
8． 设L 为椭圆
【答案】
，故曲线L 关于y 轴对称，则
，将此式代入积分式，得
9． 等分两平面
【答案】
，其周长记为1，则=_____。
【解析】因为曲线方程为曲线方程可知
。又由
间的夹角的平面方程为_____。