2017年上海交通大学理学院(数学系)828高等代数考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、计算题
1． 设某工厂生产x 件产品的成本为
（l ）当生产100件产品时的边际成本;
（2）生产第101件产品的成本，并与（l ）中求得的边际成本作比较，说明边际成本的实际意义.
【答案】（1）
（
（元/件）。
2
）
，函数c （x ）称为成本函数，（元）
成本函数C （x ）的导数C ’（x ）在经济学中称为边际成本，试求:
即生产第101件产品的成本为79.9元，与（l ）中求得的边际成本比较，可以看出边际成本C’（x ）的实际意义是近似表达产量达到x 单位时再增加一个单位产品所需的成本。 2． 不用求出函数的导数, 说明方程有几个实根, 并指出它们所在的区间。
【答案】函
数少存在
,
,
分别
在
内可导,
且
, 使
即方程
至少有三个实根, 又方程
为三次方程, 故它至多有三个实根, 因此
方程有且仅有三个实根, 它们分别位于区间内。
3． 一物体按规律x=ct3作直线运动，介质的阻力与速度的平方成正比，计算物体由x=0移到x=a时，克服介质阻力所作的功。
【答案】速度为设当t=T时，x=a，得
4． 设面密度为常
量质量的质点的引力F 。
【答案】如图所示，引力元素dF 沿x 轴和z 轴的分量分别为
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上连续, 分别
在
由罗尔定理知至
，阻力为，故
，由此得到
。
。
的质量均匀的半圆环形薄片占有闭区
域
，求它对位于z 轴上点
处单位
图
和
于是
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由于D 关于x 轴对称，且质量均匀分布，故
，因此引力
5． 设数列
满足条件：=3，=1，.S （x ）是幂级数
（1）证明：
（2）求S （x ）的表达式.
【答案】（1）由已知条件，可计算得
所以，因为S （x ）
=
因为
，所以
所以和－1，通解为
因为
解得
=2，
=1，所以
.
，所以
的特征方程为
，计算得特征根为1
的收敛半径为+∞.
，所以
（2）由题意知，齐次微分方程
6． 设有直角三角形，测得其两直角边的长分别为（7士0.1） cm 和（24士0.1） cm. 试求利用上述两值来计算斜边长度时的绝对误差.
【答案】设两直角边长度分别为x 和y ，利用勾股定理，得斜边长度为
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