2017年上海理工大学光电息与计算机工程学院831高等代数考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、计算题
1． 设在xOy 面上有一质量为M 的质量均匀的半圆形薄片，占有平面闭区域
，过圆心。垂直于薄片的直线上有一质量为m 的质点P ，OP=a。
求半圆形薄 片对质点P 的引力。
【答案】 积分区域
，于是
由于D 关于y 轴对称，且质量均匀分布，故F x =0。又薄片的面密度
所求引力为
2． 设抛物线y=ax2+bx+c通过点（0，0），且当x ∈[0, 1]时，y ≥0。试确定a ，b ，c 的值，使得抛物线y=ax+bx+c与直线x=1，y=0所围图形的面积为，且使该图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积最小。
，可得c=0。 【答案】由已知条件：抛物线y=ax+bx+c通过点（0，0）抛物线y=ax+bx+c与直线x=1，y=0所围图形的面积为
从而得到
，即
。该图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积为
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2
2
2
因此当b=2时体积最小，此时此抛物线满足y ≥0, 故所求解：
，抛物线为
，b=2，c=0符合题目要求。
，在区间[0, 1]上，
3． 试举出具有以下性质的函数f （x ）的例子：
是f （x ）的所有间断点，且它们都是无穷间断点。
【答案】设
，显然f （x ）具有所要求的性质。
4． 汽车以20m/s的速度行驶, 刹车后匀减速行驶了50m 停住, 求刹车加速度。可执行下列步骤:
（l ）求微分方程（2）求使（3）求使【答案】由
, 得
, 故
由（2）令
, 得
, 于是所求的解为, 解得
,
,
即
, 解得k=4, 即得刹车加
速度为
的t 值; 的k 值。
, 满足条件
的解;
（3）根据题意,
当
。
5． 写出下列级数的前五项：
【答案】
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6． 求图中各画斜线部分的面积：
【答案】（1）解方程组得到交点坐标为（0, 0）和（1, 1）。
如果取x 为积分变量，则z 的变化范围为[0, 1]，相应于[0, 1]上任一小区间[x，x+dx]的窄条面积近似于高为
、底为dx 的窄矩形的面积，因此有
如果取y 为积分变量，则y 的变化范围为[0, 1]，相应于[0, 1]上任一小区间[y，y+dy]的窄条面积近似于高为dy 、宽为y-y 的的窄矩形面积，因此有
2
（2）取x 为积分变量，则易知x 的变化范围为[0，l]，相应于[0，l]上的任一小区间[x，x+dx]
x
的窄条面积 近似于高为e-e 、底为dx 的窄矩形的面积，因此有
如果取y 为积分变量，则易知y 的变化范围为[l，e]，相应于[l，e]上的任一小区间[y，y+dy]的窄条面积 近似于高为dy 宽为lny 的窄矩形的面积，因此有
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