2017年武汉大学高等研究院601高等数学(理学)考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、解答题
1． 化下列方程为齐次方程，并求出通解
（1）（2）（3）（4）
【答案】（1）令4Y+2h+4k-6）dy=0.
令
原方程化为
（2X-5y ） dX-（2X+4y）dY=0,
即
则原方程成为积分
得
故上式成为得原方程的通解（2）将原方程写成且原方程化为则原方程成为积分
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则
且原方程成为（2X-5Y+2h-5k+3）dx-（2x+
解此方程组得h=1, k=1。故在变换x=X+1, y=Y+1下，
，又令，有，即
，
。
，即
，代入
，令
。又令
，有
，因，
则，
即
得原方程的通解（3）令+7k-3h+3）dY=0.
令
，解此方程组，得
则
将
代入上式，
且原方程成为（3Y -7X+3k-7h+7）dX+（7Y-3X
故在变换下，
原方程化为（3Y-7X ）dX+（7Y-3X ）dY=0. 即
则原方程成为积分即将
代入上式，得原方程的通解
，
该方程属于
，则将是由方程。
；（2）
。
，两边同时微分得
又
，则
故
3． 在下列各题中，验证所给二元方程所确定的函数为所给微分方程的解：
（1）
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，又令
即，得
，有
，
类型的，
一般可令即
所确定的函数，其中
具有积分
（4
）将原方程写成
。令
得 2． 设二阶导数且
（1）
，且原方程成为代入上式，得原方程的通解
【答案】（1）由方程
。
（2）由（1）可得，
（2）
【答案】（1）在方程（2）在方程即
故所给二元方程所确定的函数是微分方程的解。
两端对x 求导，得
两端对x 求导，得
。
，即
，
再在上式两端对x 求导，得
即
故所给二元方程所确定的函数是所给微分方程的解.
4． 设有连结点O （0，0）和A （1, 1）的一段向上凸的曲线弧曲线弧
与直线段
所围成图形的面积为x ，求曲线弧
。
，
即得微分方程
，积分得
，因
，故有
，
令
，
有
。
2
, 对于，上任一点P （x , y ）
的方程。
【答案】设曲线弧的方程为y=y（x ） 依题意，有
上式两端对x 求导
，
，则微分方程成为
，故1=C。于是得曲线弧的方程又因曲线过点A （1, 1）
5． 计算下列三重积分：
。
，其
中所围立体。
为
由
，其中
体。
为由所围立
，其中
体。
【答案】（1）由于积分区域为
关于
为由所围立
平面对称，
则令
，
，则
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