2017年武汉大学高等研究院601高等数学(理学)考研题库
● 摘要
一、解答题
1． 求下列各微分方程满足所给初始条件的特解
【答案】（1
）将原方程写成此得离变量，得
代入初始条件：
积分得
两边平方，得
因而特解可表示为
（2）令入初始条
件
代入初始条件
（3）因
并由初始条件x=1,
又因x=1时，
故积分得
又因x=1时，y=0, 故再积分得
（4
）在原方程两端同乘以
得
即
积分得
代
则
，原方程化为
得
从而
有
得
，故所求特解为故积分得
分离变量即
即
积分得
代
又积分
得
，两端乘以
得
，
得
故有
即
由分
代入初始条件：x=1, y=1，得C=±1，
于是有由于在点x=1处，y=1, 故在x=1的某邻域内y>0,
入初始条件：
得
得从而有
分离变量后积分
即
代入初始条件：x=0, y=0,
得
（5）在原方程两端同乘以入初始条件
分
得
代入初始条件：（6
）令
则
得
得从而有
得
于是得特
解
即
即并由于
，
故取
积分得代
分离变量后积
于是得特解
分离变量，
得即
由初始条
又分离变量，
得
得
原方程变为
得
积分
或写成
件：y=0, p=0, 积
分
由初始条件
：
，即
2． 求下列各微分方程的通解
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
令
即
再积分得通解（5）令
则
则且原方程化
为
分离变量，
得
积分
得
且原方程可化为
利用一阶线性方程的求解公式，得
积分得通解
（6）令积分得（7）
令
积分得
即即通解为（8）令
，故
分离变量，得
由于
两边平方，得则
分离变量，得
且原方程化为
故上式两端积分，
，
分离变量，得
，
积分得
则
积分得
则
即
且原方程可化为
再积分，得通解
且原方程化
为
分离变量，得
分离变量，
得