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一、填空题

1． 等分两平面

【答案】

间的夹角的平面方程为_____。

【解析】等分两平面夹角的平面必然经过此两平面的交线，设所求平面为

即

又所求平面与两平面的夹角相等，则

解得

，再将

代入所设方程得

2． 设

为球体

上任一点处的密度等于该点到原点的距离的平方。则次球的质

心的z 坐标为_____。

【答案】

【解析】由质心计算公式知

3． 设C 是从球面曲线

【答案】【解析】

则

上任一点到球面

_____，其中

上任一点的任一条光滑

。

分别是两球面上的点）。

4． （1）函数f （x ）在[a，b]上有界是f （x ）在[a，b]上可积的_____条件，而f （x ）在[a，b]上连续是f （x ）在[a，b]上可积的_____条件;

（2）对常积分

，它的变上限积分上非负、连续的函数f （x ）收敛的_____条件。

一定______。

在

上有界是反

（3）绝对收敛的反常积分 5． 曲面

【答案】

【解析】由题意，构造函数

在点

【答案】（1）必要；充分（2）充分必要（3）收敛

的法线方程为_____。

。则有

则所求法线的方向向量为。又法线过点

故所求法线方程为

6．

【答案】【解析】对

=_____。

作变量代换。令x=t+1，则t=x-1, dt=dx，则

由右图可知原式= 7． 设曲线

【答案】-2

和

在点（0, 1）处有公共的切线，则

，故

=_____。

【解析】由条件可知

8． 直线L ：

【答案】较为简单，即

则有

即所求旋转曲面的方程为

绕z 轴旋转一周所得旋转曲面的方程为_____。

【解析】求空间直线绕某一坐标轴旋转一周所得的曲面方程，可首先将该直线化为参数方程

二、计算题

9． 利用二重积分的性质估计下列积分的值:

，其中，其中，其中

，其中

【答案】（1）在积分区域D 上，面积等于1，因此

（2）在积分区域D 上，积等于

，因此

（3）在积分区域D 上有

，D 的面积等于2，因此

；

；

；

。

，从而

。又D 的

，从而，又D 的面