2017年上海财经大学统计与管理学院432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计教程考研仿真模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设A ，B ，C 三事件相互独立，试证A —B 与C 独立.
【答案】因为
所以A-B 与C 独立.
2． 设随机变量序列
独立同分布, 其密度函数为
试证:
【答案】因为当x<0时,
有
当
‘所以, 对任意的
时,
有
, 当
所以有
3． 设
【答案】因为离散场合,
当
时, g （y ）以概率
. 取
由于在Y 取固定值时,
上式对Y 的任一取值都成立, 即
. 在连续场合也有类似解释, 所以在一般
场合有E （h （Y ）|Y）=h（Y ）.
4． 设是取自某总体的容量为3的样本，试证下列统计量都是该总体均值的无偏估计，在方差存在时指出哪一个估计的有效性最差？
（1）（2）（3）
也是常数, 故有
结论得证.
存在, 试证:
是随机变量Y 的函数, 记
, 它仍是随机变量. 在而当时, 有
时,
有
其中常数
, 令
【答案】先求三个统计量的数学期望，
这说明它们都是总体均值的无偏估计，下面求它们的方差，不妨设总体的方差为
不难看出
由此可推测。当用样本的凸组合
5． 设（
从而
的有效性最差.
则
估计总体均值时，样本均值是最有效的。
存在. 证明:若
使得
,
则以概率1
）为n 维随机变量, 其协方差矩阵
在各分量之间存在线性关系, 即存在一组不全为零的实数
【答案】由于使得
另一方面,
意味着B 非满秩, 故存在一组不全为零的实数向量
方差为零的随机变量必几乎处处为常数, 故存在常数a , 使得
6． 设0 【答案】由条件 7． （1）设布函数 其中F （y ）与p （y ）分别为总体的分布函数与密度函数. （2）利用（1）的结论, 求总体为指数分布【答案】（1） 与 的联合密度函数为 试证：A 与B 独立. 得 再由上题即得结论. 的分 和分别为容量n 的样本的最小和最大次序统计量, 证明极差 时, 样本极差的分布函数. 做变换 的联合密度为 其逆变换为 雅可比行列式绝对值为, 于是 与 由此可以算得的边际密度为 的分布函数为 （2）对于指数分布 由（1）中结果, 有 8． 设P （A ）>0，试证： 【答案】因为 所以 二、计算题 9． 已知在文学家萧伯纳的An Intelligent Woman’s Guide To Socialism.—书中，一个句子的单词数X 近似地服从对数正态分布，即中的单词数分别为 求该书中一个句子单词数均值. 【答案】正态分布 的最大似然估计. 的参数的最大似然估计分别为样本均值和方差. 即 由于最大似然估计具有不变性，因而 10．设P （AB ）=0，则下列说法哪些是正确的？ （1）A 和B 不相容； 今从该书中随机地取20个句子，这些句子 的最大似然估计为
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