2017年上海财经大学统计与管理学院432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计教程考研题库
● 摘要
一、证明题
1． 在伯努利试验中, 事件A 出现的概率为p , 令
证明:【答案】
服从大数定律.
为同分布随机变量序列, 其共同分布为
表
且
从而
又当
时, 与
又因为
于是有
即马尔可夫条件成立, 故
服从大数定律.
2． 设X 为仅取非负整数的离散随机变量，若其数学期望存在，证明：
（1）（2）
【答案】（1）由于
存在，所以该级数绝对收敛，从而有
（2）
独立, 所以
3． 设随机变量X 的密度函数p （x ）关于c 点是对称的，且E （X ）存在，试证：
（1）这个对称中心c 既是均值又是中位数，即（2）如果c=0，则
因此
所以得
又由
所以
（2）当c=0时，
又由
由此得结论.
4． 设随机变量\服从柯西分布, 其密度函数为
试证:
当
时, 有
【答案】对任意的即
结论得证.
由此得
【答案】（1）由p （x ）关于c 点对称可知：
5． 令X （n ，p ）表本服从二项分布b （n ，p ）的随机变量，试证明
：
【答案】
6． 设
证明:
为独立随机变量序列, 且
服从大数定律.
相互独立, 且
【答案】因为所以
由此可得马尔可夫条件
由马尔可夫大数定律知
7． 设分布函数列
【答案】对任意的对取定的N , 存在因而存在
因此有
由
的任意性知
结论得证.
8． 设g （x ）为随机变量X 取值的集合上的非负不减函数，且E （g （X ））存在，证明：对任意的
有
使当
使有时, 任对
, 有
服从大数定律.
且
存在充分大的M , 使有
对取定的h , 因为
关于x 是一致的,
和
都是连续、严格单调函数,
又设
弱收敛于分布函数
服从（0, 1）上的均匀分布, 试证:
对取定的M , 可选取正整数k 和N , 使有
【答案】仅对连续随机变量X 加以证明. 记p （x ）为X 的密度函数，则
二、计算题
9． 向
中随机投掷一点P ，求P 点到AB 的距离X 的数学期望、方差与标准差.
的高CD ，记CD 的长度为h （如图）.
【答案】先求X 的分布函数，作