2017年湖南科技大学数学与计算科学学院832高等代数B考研强化模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设行列式
为f （X ），则方程，f （x ）=0的根的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B
【解析】因为将原行列式的第1列乘（-1）分别加到其他3列得
2． 设
则3条直线
（其中
【答案】D 【解析】令其中
则方程组①可改写为
则3条直线交于一点
线性无关，由秩
线性表出.
方程组①有惟一解
）交于一点的充要条件是（ ）
.
由秩A=2, 可知可由
可知线性相关，即可由线性表出，
从而
线性相关，故选D.
3． 设则当（ ）时，此时二次型为正定二
次型.
A. 为任意实数 B. 不等于0 C. 为非正实数 D. 不等于-1
【答案】D
【解析】方法1 用排除法令
则
这时f （l ，1，1）=0，即f 不是正定的. 从而否定A ，B ，C. 方法2
所以当时，f 为正定二次型.
方法3 设
对应的矩阵为A ，则
A 的3个顺序主子式为
所以当时，A 的3个顺序主子式都大于0，则，为正定二次型，故选（D ）.
方法4令
所以f 为正定的.
4． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，如B=E+AB, C=A+CA, 则B —C 为（A.E B.-E C.A D.-A
【答案】A
.
）
【解析】由题设（E-A ）B=E, 所以有
B （E-A ）=E.
又C （E-A ）=A，故
（B-C ）（E-A ）=E-A.
结合E-A 可逆，得B-C=E.
5． 设线性方程组的解都是线性方程组
【答案】（C ） 【解析】设即证秩
的解空间分别为
则
所以
的解，则（ ）。
二、分析计算题
6． 设
其牛
为两个非零多项式且或
次，但
证明：存在多项式
. 而且这种表示法唯一.
若
次，则结论已对；若
再用
设
，得
将（3）代入（2）
若
，次，可再用g 去除q （ ）. 如此下去，由于f （:真：）
其中
或
次，
由于
且 由（5）又得
同理可得
使
，设
【答案】先用g （x ）去除f （x ）
的次数逐次
降低，从而可得（1）. 设另有
，并移项，可得
（1）减（4）
或为零，
或次数次数，故上式左端括号内的多项式必等于零，
从而必
. 如此下去，必m=n且
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