2017年湖南科技大学数学与计算科学学院832高等代数B考研仿真模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设A 、B 均为2阶矩阵，A*，B*分别为A 、B 的伴随矩阵. 如果阵
A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题设
可逆，由于
的伴随矩阵为（ ）.
则分块矩
且
所以
2． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 既不合同，也不相似 【答案】B
【解析】A 、B 都是实对称矩阵，易知
B 的特征值为1，1，0，所以A 与B 合同，但不相似.
3． 设则3条直线
则A 与B （ ）.
，
所以A 的特征值为3，3，0；而
（其中
）交于一点的充要条件是（ ）
.
【答案】D 【解析】令其中
则方程组①可改写为
则3条直线交于一点
线性无关，由秩
方程组①有惟一解
由秩A=2, 可知可知线性相关，即可由线性表出，
从而
可由线性表出. 线性相关，故选D.
4． 下面哪一种变换是线性变换（ ）
.
【答案】C
【解析】
，而
5． 设A 是
A. 如果B. 如果秩
矩阵，则则
不一定是线性变换，
比如
不是惟一的.
为一非齐次线性方程组，则必有（ ）. . 有非零解
有非零解
有惟一解 只有零解
有零解.
.
则
也不是线性变换，
比如给
C. 如果A 有阶子式不为零，则D. 如果A 有n 阶子式不为零，则【答案】D 【解析】 6． 解方程组
秩
未知量个数，
二、分析计算题
【答案】利用可得方程组系数行列式
由克莱姆法则知，原方程组有唯一解. 又显见方程组常数项组成的列D 的第：列得：
故方程组解为
7． 设A 为可逆数方阵. 证明：若
【答案】由与从而
是
的根，亦即
的根.
与等价，
（1）求
的标准形；
8． 设3阶方阵A 的特征矩阵，
有相同的根. 但
是是多项式
知，’
的根，故a 也是
的根，即
的根，则
也是
换系数行列式
的根.
的特征根.
（2）求A 的若当标准形. 【答案】（1）由故A 的初等因子为所以
的标准形为
（2）据A 的初等因子可得A 的若当标准形为
与
等价知，
与
等价.
从而A 的不变因子为
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