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一、计算题

1． 如图1所示半径为r 的半圆柱体, 在水平面上只滚动不滑动, 已知该柱体对通过质心C 且平行于半圆柱母线的轴的回转半径为

又

求半圆柱体作微小摆动的频率

.

图1

【答案】

图2

选取摆动角为广义坐标, 半圆柱体在水平面上做纯滚动, 为理想约束, 如图2（b ）所示. 则广义力:

动能:

由速度合成定理得:

如图2所示上式等价于:

其中其中, 化简得,

所以半圆柱体作微小摆动的频率为:

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将上式代入拉氏方程得:

2． 均质圆柱体的质量为m , 半径为r , 放在倾角为

的斜面上, 一细绳缠绕在圆柱体上, 其一端固

求

定于A 点, 此绳和A 相连部分与斜面平行, 如图所示. 如圆柱体与斜面间的动摩擦因数为圆柱体质心的加速度

.

图

【答案】由平面运动微分方程可得

其中

解得

3． 图1所示一重物M 放在粗糙的水平平台上, 平台绕铅垂轴以匀角速度ω转动, 重物与平台间摩擦因数为f , 试求重物能在平台上保持相对静止时的位置

.

图1

【答案】在水平平台上建立动坐标系, 动系做匀角速定轴转动, 设重物M 的质量为m , 当重物

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距转轴R 时在平台上相对静止, 此时有

重物受力分析如图2所示

.

所以

图2

得非惯性系动力学方程:其中, 由以上分析得:

重物相对静止应满足条件:得:

即

所以重物在平台上保持相对静止时与转轴的距离为

4． —均质等截面直杆的重心在哪里？若把它弯成半圆形, 重心的位置是否改变？

【答案】重心与形心重合, 位于轴线中点。弯成半圆形, 重心位置位于物体之外。

5． 点M 沿正圆锥面上的螺旋轨道向下运动。正圆锥的底半径为b ，高为h ，半顶角为角对时间的导数保持为常数。求在任意角时，加速度在柱坐标中的投影

如图所

示。螺旋线上任意点的切线与该点圆锥面的水平切线的夹角是常数，且点M 运动时，其柱坐标

图

【答案】假设在与z 轴距离为移项并积分得求二次导数得

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时经过了无限小位移

可得