2017年江苏大学理学院853高等代数考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、选择题
1． 设A 是
A. 如果B. 如果秩
矩阵，则则
为一非齐次线性方程组，则必有（ ）. . 有非零解
有非零解
有惟一解 只有零解
有零解.
C. 如果A 有阶子式不为零，则D. 如果A 有n 阶子式不为零，则【答案】D 【解析】
2． 设向量组
秩
未知量个数，
线性无关，则下列向量组中，线性无关的是（ ）
【答案】C 【解析】方法1:令
则有
由
线性无关知，
该方程组只有零解方法2:对向量组C ，由于
从而
线性无关，且
因为 3． 设
所以向量组
是非齐次线性方程组
的两个不同解，
线性无关. 是
的基础解系，
为任意常数，
线性无关.
则Ax=b的通解为（ ）•
【答案】B 【解析】因为中
不一定线性无关. 而
由于
因此
线性无关，且都是
的解.
所以
因此
不是
的特解，从而否定A , C.但D
故是的基础解系. 又由知是的特解，因此选B.
4． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，如B=E+AB, C=A+CA, 则B —C 为（ ）.
A.E B.-E C.A D.-A
【答案】A
【解析】由题设（E-A ）B=E, 所以有
B （E-A ）=E.
又C （E-A ）=A，故
（B-C ）（E-A ）=E-A.
结合E-A 可逆，得B-C=E.
5． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵
.
A. B. C. D.
【答案】D 【解析】由题设知所以
二、分析计算题
6． 设A 为n 阶方阵，证明：
【答案】因为
的充要条件是
所以
故
7． 找出和式
【答案】已知和二次多项式. 猜
测
和
式
是
n
的
三
次
多
项
式
，
设
为
的一般公式.
是n 的一次多项式
是n 的
对所有的正整数n 都成立. 而是三次多项式，
都是二次
多项式，且在无穷个x 值上相等，故这两个多项式是相等的. 于是
可计算出
又验答:
这里用了多项式的性质，而不是用归纳法进行求证的.
8． 设A 、B 均为正定阵，则AB 正定
【答案】故
因为又可逆阵
使
所以
从而
所以
而
故d=0.因此
因为A 、B 及AB 正定，所以它们均为对称矩阵.
为正定阵（因为可逆）.
所以AB 的特征值全为正数，结合AB 对称知AB 正定.
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