2017年江苏大学理学院853高等代数考研仿真模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设A 是
A. 如果B. 如果秩
矩阵，则则
为一非齐次线性方程组，则必有（ ）. . 有非零解
有非零解
有惟一解 只有零解
有零解.
则当（ ）时，此时二次型为正定二
为任意实数 不等于0 为非正实数 不等于-1
则
这时f （l ，1，1）=0，即f 不是正定的. 从而否定A ，B ，C. 方法2
所以当方法3 设
时，f 为正定二次型.
对应的矩阵为A ，则
A 的3个顺序主子式为
所以当
时，A 的3个顺序主子式都大于0，则，为正定二次型，故选（D ）.
C. 如果A 有阶子式不为零，则D. 如果A 有n 阶子式不为零，则【答案】D 【解析】 2． 设次型.
A. B. C. D. 【答案】D
【解析】方法1 用排除法令
秩
未知量个数，
方法4令
所以f 为正定的. 3． 设
又
则（ ）•
【答案】（C ） 【解析】令将①代入④得
即
4． 齐次线性方程组
的系数矩阵为A ，若存在3阶矩阵
【答案】C 【解析】若当C.
时，
由AB=0, 用
右乘两边，可得A=0, 这与A 卢）矛盾，从而否定B. ，D.
由AB=0，左乘
可得
矛盾，从而否定A ，故选
使AB=0, 则（ ）
.
由②有
为空间的两组基，且
5． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同不相似 【答案】A
则A 与B （ ）.
【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值
又因为即A 也有4个特征值0，0，0，4. 因而存在正交阵
其中
故A 〜B. 再由
是正交阵，知T 也是正交阵，从而有
使
且由①式得
因此A 与B 合同.
二、分析计算题
6． 证明：如果
【答案】
由题设
其中
于是
7． 设
①用初等变换求A 的标准形（对角矩阵）
，并给出相应的满秩方阵P 使
的标准形.
【答案】①对A 施行相同的列与行的初等变换，化为标准形
及
而
来证
又是0在
因
中的分解，即得
故
只要证零向量在这些子空间的和中的分解式惟一.
设
②再通过满秩线性代换X=PY验算所得的二次型
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