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一、选择题

1． 设

A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 既不合同，也不相似 【答案】B

【解析】A 、B 都是实对称矩阵，易知

B 的特征值为1，1，0，所以A 与B 合同，但不相似.

2． 设A 是n 阶矩阵，a 是n 维向量，若秩

【答案】D 【解析】 3． 设

则3条直线

（其中

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则A 与B （ ）.

所以A 的特征值为3，3，0；而

则线性方程组（ ）•

）交于一点的充要条件是（ ）

.

【答案】D 【解析】令其中

则方程组①可改写为

则3条直线交于一点

线性无关，由秩

方程组①有惟一解

由秩A=2, 可知可由线性表出.

4． 设线性方程组

可知线性相关，即可由线性表出，

从而

线性相关，故选D. 的解都是线性方程组

的解，则（ ）。

则

所以

【答案】（C ） 【解析】设即证秩 A. 必相等

B. 可能相等亦可能不相等 C. 不相等 【答案】B 【解析】比如在

若选故选B.

从而否定A ,

若选

中选三个向量组

的解空间分别为

5． 在n 维向量空间取出两个向量组，它们的秩（ ）.

从而否定C ,

二、分析计算题

6． 下列n 阶方阵可否对角化？若可对角化，求可逆方阵P 使

【答案】易知或-1.

①若而

则易知

且

有基础解系：

有基础解系：

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为对角矩阵：

从而可知A 的最小多项式为无重根，A 可对角化且其特征根为1

令

则P 可逆且

②

则易知

且

有基础解系：

而令

有基础解系：

则P 可逆且

7． 设A 、B 均为n 阶方阵，

【答案】

8． 设A 为顺序主子式都不是0的n 阶方阵. 证明：A 可唯一分解成A=FDS, 其中D 为可逆对角方阵，F 与S 分别为主对角线上元素全是1的下与上三角形方阵.

【答案】由上题知，A 可分解为可逆下、上三角形方阵B , C 之积. 于是

即得.

设A 有这样两种分解:

则得

此等式左端是主对角线上元素全为1的下三角形方阵，而右端是上三角形方阵，故必

从而

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于是又得