2018年暨南大学经济学院810高等代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、分析计算题
1． 设P 是数域,
（1）证明:旦是数域P 上线性空间（2）求在基
下的矩阵
的线性变换；
（3）求的特征值和属于特征值的线性无关的特征向量. 【答案】 （1）
令
由假设知
有
所以是（2）
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. 上线性变换.
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所以
其中
（3）其基础解系为
令
故
是属于特征值0的线性无关的特征向量.
证明存在多项式
又
故
使
2． 设A 、B 为n 阶伴侣阵,
【答案】因当
当
即时,
. 所以
即B 的特征值全为0 （6重根）当
时, 令
则
时, 取g （x ）为A 的特征多项式即可.
（1）如果B 的特征值不全为0, 则存在可逆阵T , 使
由
可得
因此有设取
的最小多项式为
,
为, 这里
为
阶可逆矩阵. 可逆, 因而
的常数项不为0.
由于
的常数项, 则
故.
（2）如果B 的特征值全为0, 由于存在可逆阵T , 使
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,
这里
由
可设
由令
得
则由
‘得
又
故
令
取.
得到一个非齐次线性方程组, 其秩等于方程个数, 因而有解, 从而找到 3． 设
使
. 从而
a 1=, a 2=, a 3=, a 4=（2, 1, 2, 2, -4）（1, 1, -1, 0, 2）（0, 1, 2, 1, -1）
, a 5=（-1, -1, -1, -1, 1）（1, 2, 1, 1
, 1）试确定向量组a 1, a 2,
a 3, a 4, a 5的秩和一个极大线性无关组.
【答案】
将梯形.
写成列向量，拼成一个矩阵，并进行初等行变换，将此矩阵化为阶
①
秩
且
为其一个极大线性无关组. 注从①式看出
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