当前位置：问答库＞考研试题

一、综合题

1． 在标准欧几里得空间

线性子空间’【答案】由

所以

是W 的基. 解线性方程组

即

解得

故

在W 上的正交投影为

2． 设T 是线性空间V 上线性变换, T 的核记为

（1）证明:

（2）若v 是n 维线性空间, 证明:存在正整数k , 使得

并证明, 对一切

的整数有

（3）若V 是n 维线性空间, 证明:

【答案】 （1）要证①式, 只要证明

即可

.

①成立.

要证②式, 只需证明

第 2 页，共 38 页

中有向量

求向量

在w 上的正交投影.

的象记为

则

所以有

故此即⑥成立, 从而

专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！

即可

.

则存在

（2）由上面①式有

由于V 是有限维

, 存在正整数k

, 使

但

由⑨, ⑩即证③成立

.

再用数学归纳法证明④式, 显然当再证k 时结论成立. 事实上

, 有

则

所以

由⑫. ⑬式得证（3）再证

其中k 满足④式所以从而但

由

式即证⑤式成立.

则

即证⑧式. 由于是V 的线性变换, 因此有

即

此即

即对

s 也成立, 从而④式对一切正整数

t 成立

时结论成立. 归纳假设结论对

成立, 即

是常数, 且维数不能为负, 因此⑧式不能无限不等下去, 从而一定使

从而⑦式成立, 所以②式成立.

3． 检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间:

（1）次数等于（2）设A 是一个法;

（3）全体n 级实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法; （4）平面上不平行于某一向量的全部向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法;

第 3 页，共 38 页

的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法; 实矩阵，A 的实系数多项式

的全体，对于矩阵的加法和数量乘

专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！

（5）全体实数的二元数列，对于下面定义的运算：

•

（6）平面上全体向量，对于通常的加法和如下定义的数量乘法:（7）集合与加法同（6）, 数量乘法定义为:（8）全体正实数

，加法与数量乘法定义为:

【答案】 （1）否. 该集合中没有零多项式，即没有零元素，故不能构成线性空间. （2）是. 令这时

可令则

及

仍是实系数多项式. 于是

又V 中元素皆为（3）只对全体设

则

故它们都是实反对称矩阵，即全体运算性质是自然具备的. 故构成实线性空间.

（4）否. 这集合中不含零向量，故不构成线性空间.

（5）是. 令V 是全体实二元数列的集合. 按定义它对加法和数量乘法是封闭的. 下面验证八条运算性质

.

加法交换律显然成立

. 加法结合律:

两者相等，故成立

.

是加法零元素

.

第 4 页，共 38 页

;

;

是实系数多项式. 给定

是实系数多项式，

，

及k 是实数，

及

实系数矩阵，矩阵的加法和数量乘法自然满足线性空间的八条性质, 故实反对称矩阵证明它对矩阵的加法和数量乘法构成实数域上的线性空间.

实反对称矩阵的集合对加法和数量乘法都封闭. 又八条

V 构成实数域上的线性空间.

实矩阵A 和B 皆为反对称，即有