2018年郑州大学数学与统计学院915高等代数考研核心题库
● 摘要
一、分析计算题
1． 以
表示数域P 上所有三阶矩阵组成的线性空间. 求所有与
）的矩阵B 组成的线性子空间的维数及一组基. 【答案】因为
可交换（即满足
记则从而
设则
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所以
B 生成的线性子空间的维数为3, 且它的一组基为
2．
对任意的自然数【答案】证法1:归纳法
时，
设
当
时，
*
时，
由上式及归纳假设知证法2:设因为
所以 结合
与
互素
知
I
n , 均有.
，命题得证
. .
的两根记为，
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3． 设给出一基:
为数域K 上全体多项式作成的线性空间, 为由0及K 上次数小于n 的全体多项
式作成的n 维空间, 问:以下的对多项式普通运算是否作成K 上线性空间？维数为何？并
【答案】
又显然K 上多项式因为若
的所有系数之和为0, 作成K 上线性空间显然.
都属于且线性无关:
于是又若于是
K 上n-1维线性空间, 即
则
则维子空间
.
的一个子空间, 又显然若
则即零空间,
若
且M 中任意有限个多项式显然都线性无关且对任意
则
线性表示, 因此,
是
即中每个多项式都可由
作成K 上线性空间显然,
它是
因此, 是K 上无限维线性空间, 而且可认为M 为其一基（扩大的基的概念）
.
为其一基（扩大
作成线性空间显然. 而且类似②易知, 是无限维线性空间, 又
的基的概念）. 4． 设
（1）（2）如果【答案】 （1）设因为A 是正定矩阵，所以故
（2）设因为A 和
其中
，则
都是正定矩阵，所以
，且.
故
都是n 阶实矩阵，且A 与
是B 的特征值，那么
, .
是
的特征值，
都是正定矩阵，证明:
，其中E 是n 阶单位矩阵
是A 的特征值，则
即
5． 求下列多项式的有理根：