2018年哈尔滨医科大学公共卫生学院611数学综合之概率论与数理统计考研核心题库
● 摘要
一、证明题
1． 设
证明:
为独立随机变量序列，且
服从大数定律.
相互独立，且
由此可得马尔可夫条件
由马尔可夫大数定律知
服从大数定律.
2． 设随机变量X 服从负二项分布，其概率分布为
证明其成功概率p 共轭先验分布族为贝塔分布族. 【答案】取成功概率p 先验分布为所以，
，则
与的联合分布为
所以
【答案】因为
即成功概率p 的后验分布为塔分布族.
，故成功概率p 的共轭先验分布族为贝
3． 假设随机变量X 服从参数为2的指数分布. 证明:在区间上服从均匀分布.
代入函数
【答案】随机变量X 服从参数为2的指数分布, 则X 的概率密度为求得到所以当当
的分布, 关键是确定分段点. 将X 的概率密度函数的分段点同时利用函数
的图形知它的最大值是
是不可能事件, 所以
是Y 的分布函数的分段点. 时, 时, 则
当
时,
下面求Y 的分布函数
综上所述, 得到Y 的分布函数为上式恰好是区间即证明了 4． 设
是来自正态分布
的样本，证明，在给定
下
上服从均匀分布的随机变量的分布函数, 在区间（0, 1）上服从均匀分布.
是充分统计量. 的条件密度函数为
【答案】由条件，
它与无关，从而
5． 设随机变量
【答案】
是充分统计量.
，试证明:
6． 设
为来自
的i.i.d 样本，其中，样本的联合密度函数为
两个参数空间分别为
利用微分法，在下而在
下
的MLE 为
分别为
的MLE.
未知.
）.
证明关于假设【答案】记
的单侧t 检验是似然比检验（显著水平
于是似然比统计量为
在此时
为
时
，由于
，故只需考虑
的情形，
的单调增函数，故此时的似然比统计量是传统的t 统计量的增函数，
即此时的似然比检验等价于单侧的t 检验，拒绝域由t 检验的结论知，
7． 设二维随机变量
服从二元正态分布，其均值向量为零向量，协方差阵为
是来自该总体的样本，
证明:二维统计量
【答案】该二元正态分布的密度函数为
，这就完成了证明.
是该二元正态分布族的充分统计量.
此处，
故