2018年哈尔滨师范大学数学科学学院843概率论与数理统计考研基础五套测试题
● 摘要
一、证明题
1． 证明公式
【答案】为证明此公式，可以对积分部分施行分部积分法，更加简单的方法是对等号两边分别关于p 求导，证明其导函数相等.
注意到将等式右边的求导可给出
而对
对
其和前后项之间正好相互抵消，最后仅留下一项，也为这就证明了两者导函数相等，并注意到两者在
时都为0, 等式得证.
2． 设随机变量X 与Y 独立同分布，且都服从标准正态分布
试证明:【答案】设
相互独立. 则
所以
. 由此得
和
的联合密度为
所以
3． 设
【答案】若
可分离变量，即U 与V 相互独立. 证明
:
服从贝塔分布，并指出其参数.
则X 的密度函数为
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由其反函数为
上是严格单调增函数，
的密度函数为
整理得
这说明Z 服从贝塔分布
其两个参数分别为F 分布两个自由度的一半.
4． 在伯努利试验中，事件A 出现的概率为p , 令
证明:【答案】
服从大数定律.
为同分布随机变量序列，其共同分布为
表
且
从而
又当
时,
与独立，所以
又因为
于是有
即马尔可夫条件成立，故
5．
设
为一事件域，若
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服从大数定律.
试证: （1）（2）有限并（3）有限交
（4）可列交（5）差运算
（2）构造一个事件序列由此得（3）因为（4）因为（5）因为.
6． 设
分别是
. 所以，所以，所以
，故其对立事件
.
【答案】（1）因为为一事件域，所以
，其中
，由，由
，由（3）（有限交）得，
.
的UMVUE ，
是的UMVUE ，故
于是
►
，且对任意一个
，
，分别是
证明:对任意的（非零）常数【答案】由于满足
，由判断准则知
因此是的UMVUE.
是方差一致有界的随机变量序列，且当服从大数定律.
任对
所以
存在
当
时， 时，一致地
7． （伯恩斯坦大数定律）设有
【答案】记有
证明:
由的任意性知
所以由马尔可夫大数定律知 8． 设和方差,
是来自总体x 的简单随机样本,
, 证明:
分别为样本的均值
服从大数定律.
（1）当X 服从数学期望为0的指数分布时,
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