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一、证明题

1． 设随机变量序列数，并求出c.

【答案】因为

且

所以由切比雪夫不等式得，任对即再知即

有

独立同分布，且

令

试证明:

其中c 为常

2． 设X 为仅取正整数的随机变量，若其方差存在，证明:

【答案】由于其中

代回原式即得证.

3． 设

为独立随机变量序列，且

证明:

服从大数定律.

相互独立，且

故可得马尔可夫条件

由马尔可夫大数定律知

服从大数定律.

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存在，所以级数绝对收敛，从而有

【答案】因

4． 设

（1）

各以

的概率取值且假定与相互独立. 令证明:

（2）X 与既不相关也不独立. 【答案】（1）由全概率公式可得

所以（2）因为

且X 与Y 相互独立，所以

所以X 与Z 不相关. 为证明X 与Z 是不独立的，我们考查如下特定事件的概率，且对其使用全概率公式

考虑到而

所以

故有

即X 与Z 不独立. 存在，证明:对任意的

，

5． 设g （X ）为随机变量X 取值的集合上的非负不减函数，且

有

【答案】仅对连续随机变量X 加以证明. 记p （x ）为X 的密度函数，则

注:此题给出证明概率不等式的一种方法两次放大:第一次放大被积函数；第二次放大积分区域. 6． 证明:

【答案】不妨设另一方面，还有

综合上述两方面，可得

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. ，则

7． 设随机变量

且X 与Y 相互独立，令

试证明: （1）（2）（3）【答案】（1）

（2）由（1）知，（3）由（2）知所以

由此得

8． 设连续随机变量X 的分布函数为F （x ），且数学期望存在，证明:

【答案】

将第一个积分改写为二次积分，然后改变积分次序，得

第二个积分亦可改写为二次积分，然后改变积分次序，可得

这两个积分之和恰好是所要求证明的等式.

所以

因为X 与Y 相互独立，

二、计算题

9． 有一批电子产品共50台，产销双方协商同意找出一个检验方案，使得当次品率时拒绝的概率不超过0.05, 而当方案.

【答案】此类检验问题的拒绝域为:

因此，本问题归结为找出n 与c , 使得接受概率

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时，接受的概率不超过0.1, 请你帮助找出适当的检验

.