2018年广西大学农学院314数学(农)之概率论与数理统计考研核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 独立重复地对某物体的长度a 进行n 次测量，设各次测量结果为n 次测量结果的算术平均值，为保证有少需要测量多少次？
【答案】因为
再用林德伯格-莱维中心极限定理可得
或
由此查表得
从中解得
取
即可以
的把握使平均值与实际值a
的差异小于
2． 设X 是只取自然数为值的离散随机变量. 若X 的分布具有元记忆性，即对任意自然数n 与m , 都有
【答案】由无记忆性知
或
若把n 换成n —1仍有
上两式相减可得
若取n=m=l, 并设若取n=2，m=l，可得
若令
，则用数学归纳法可推得
这表明X 的分布就是几何分布.
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服从正态分布
记问至
的把握使平均值与实际值a 的差异小于, 所以根据题意可列如下不等式
，则X 的分布一定是几何分布.
，则有
3． 某大学随机调查120名男同学，发现有50人非常喜欢看武侠小说，而随机调查的85名女同学中有23人喜欢，用大样本检验方法在异？并给出检验的p 值.
【答案】设X 为120名男同学中喜欢看武侠小说的人数，为其真实比例，Y 为85名女同学中喜欢看武侠小说的人数，为其真实比例，
则
待检验问题为
由于这里样本量较大，可以采用大样本u 检验方法，注意到
其中
，于是，在
成立的条件下，近似有
其中
，将
的值代入，可算得
对显著性水平此处检验的p 值为
4． 设数为
是来自均匀分布
，
检验拒绝域为
，观测值落入拒绝域，故认为男女同学
的样本，的先验分布是帕雷托（Pareto ）分布，其密度函
下确认:男女同学在喜爱武侠小说方面有无显著差
在喜爱武侠小说方面有显著差异.
，其中与是两个已知的常数.
（1）验证:帕雷托分布是的共轭先验分布； （2）求的贝叶斯估计. 【答案】 （1）要使
与
与的联合分布为同时成立，必须’
，所以的后验分布为
，
这是一个参数为
与
的帕雷托分布，因此帕雷托分布是的共轭先验分布.
（2）若选用后验期望估计，则
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5． 设
为独立同分布的随机变量序列，其共同的分布函数为
试问:辛钦大数定律对此随机变量序列是否适用？
【答案】此为柯西分布的分布函数，而柯西分布的数学期望不存在，因为辛钦大数定律要求数学期望存在，所以辛钦大数定律对此随机变量序列不适用.
6． 对给定的n 组数据若我们关心的是y 如何依赖x 的取值而变动，则可以建立如下回归方程
反之，若我们关心的是x 如何依赖y 的取值而变动，则可以建立另一个回归方程
试问这两条直线在直角坐标系中是否重合？为什么？若不重合，它们有元交点？若有，拭给出交点的坐标.
【答案】一般不重合. 因为回归方程
可化为
而
化为
当且仅当即n
组数据合”
不重合时，它们一定有交点
7． 设随机变量（x ，y ）的联合密度函数为
试求（1）边际密度函数
；（2）x 与y 是否独立？
【答案】（1）因为P （x ，y ）的非零区域为图的阴影部分，
'
时两条直线重合. 我们知道，
表示相关系数的绝对值为1，
在一条直线上，这在实际中极其罕见，所以说“一般不重
图
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