2018年同济大学数学系396经济类联考综合能力之工程数学—线性代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、解答题
1． 设B
是
（I
）证明（II
）证明（III
）若【答案】⑴
（II ）
（Ⅲ）设
则由
知
即
或1. 又存在可逆矩阵p ,
矩阵
且A 可对角化，
求行列式
逆
其中E 是n 阶单位矩阵.
使或1.
2．
已知
对角矩阵.
【答案】A 是实对称矩阵
，
可得a=2.
此时
是二重根，
故
于是
必有两个线性无关的特征向量，
于是
知
是矩阵
的二重特征值，求a 的值，并求正交矩阵Q
使
为
解（2E-A ）x=0,
得特征向量将
正交化：
解（8E-A ）x=0，
得特征向量先
再将单位化，得正交矩阵：
且有
3． 设n 维列向
量
【答案】
记
线性无关，其中S 是大于2的偶数. 若矩
阵
试求非齐次线性方程组
的通解.
方程组①化为：
整理得
，由
线性无关，得
显然①与②同解.
下面求解②：对②的增广矩阵作初等行变换得（注意X 是偶数）
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从而组的基础解系为数
.
4． 设矩阵
有无穷多解.
易知特解为
从而②的通解
，即①的通解为
对应齐次方程A 为任意常
求一个秩为2的方阵B. 使
【答案】令即
取
.
进而解得的另一解为则有
.
的基础解系为：
方阵
B 满足题意.
令
二、计算题
5
．
从矩阵A 中划去一行得到矩阵B
, 问A , B
的秩的关系怎样？
【答案】由矩阵秩的性质，
有
6．
在
中求向量
在基
下的坐标.
下的坐标就是a 由向量组
的解. 由
线性表示式中对应的
【答案】由定义，向量在基系数，也就是方程
于是，在所给基下的坐标为
7． 设
为正定二次型，求a.
【答案】用赫尔维茨定理, 对f 的矩阵A 进行讨论
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