2018年同济大学数学系396经济类联考综合能力之工程数学—线性代数考研核心题库
● 摘要
一、解答题
1．
已知通解是
.
, 证明
【答案】
由解的结构知
是4阶矩阵，其中
是齐次方程组
故秩
是4维列向量. 若齐次方程组Ax=0的的基础解系.
又由
得
因
与
可知综上可知
，
2． 设A
为
的解为【答案】
由
利用反证法，
假设以有
有
即故
都是
的解.
由
线性无关.
由
是矩阵
且
得的基础解系.
那么
有唯一解. 证明：
矩阵为A 的转置矩阵）.
易知
为可逆矩阵，
且方程组
只有零解.
使
.
所
只有零
有惟一解知
则方程组
. 即
即有
可逆.
有非零解，即存在
于是方程组
有非零解，这与
解矛盾，故假设不成立，
则
由
.
3．
已知
与
得
相似. 试求a , b , c 及可逆矩阵P ，使
【答案】由
于故B 的特征值为
从而B
可以对角化为
分别求令
所对应的特征向量，
得
有
即a=5.
由
得A ，B 有相同特征值
，
故
再由得b=-2, c=2，于是
分别求A 的对应于特征值1，2, -1的特征向量得
：令
记
有
.
因此
即
则P 可逆，
且 4．
设
记
证明：
为三维单位列向量，并且
（Ⅰ）齐次线性方程组Ax=0有非零解； （Ⅱ）A
相似于矩阵
则
故Ax=0有非零解.
【答案】（Ⅰ）由于A 为3阶方阵，且
（Ⅱ）由（Ⅰ
）知向量.
又且
另外，由
故可知
故A
有零特征值
的非零解即为对应的特征
为A 的特征值
，为4的2重特征值
，
为对应的特征向量.
为A 的3个
为4的单重特征值.
为两个正交的非零向量，从而线性无关.
故
线性无关的特征向量，
记
则
即A
相似于矩阵
二、计算题
5． 设A , B 都是n 阶矩阵，且A 可逆，证明AB 与BA 相似.
【答案】因A 可逆，
故
6．
设
由定义，AB 与BA 相似.
为正定二次型，求a.
【答案】用赫尔维茨定理, 对f 的矩阵A 进行讨论
A
正定
由
7．
设
，
且
由
合起来，
当
，
，
线性相关.
时，A 正定，从而f 正定. ，证明向量组
线性相关.
【答案】
方法一、由定义，
知向量组
方法二、两向量组线性表示的矩阵形式为：
其中
因