2018年天津师范大学计算机与信息工程学院603数学之工程数学—线性代数考研基础五套测试题
● 摘要
一、解答题
1． 设B
是
（I
）证明（II
）证明（III
）若【答案】⑴
（II ）
（Ⅲ）设
则由
知
即
或1. 又存在可逆矩阵p ,
矩阵
且A 可对角化，
求行列式
逆
其中E 是n 阶单位矩阵.
使或1.
2．
设
当a , b 为何值时，存在矩阵C 使得AC-CA=B，并求所有矩阵C.
【答案】显然由AC-CA=B可知，若C 存在，则必须是2阶的方阵，设则AC-CA=B
可变形为
即得到线性方程组
若要使C 存在，则此线性方程组必须有解，于是对方程组的增广矩阵进行初等行变换如下，
故当a=-1，b=0时，线性方程组有解，即存在矩阵C , 使得AC-CA=B. 此时
，
所以方程组的通解为
也就是满足AC-C4=B的矩阵C 为
其中
3．
设的所有矩阵.
为任意常数.
E 为三阶单位矩阵，求方程组Ax=0的一个基础解系；求满足AB=E
【答案】（1）对系数矩阵A 进行初等行变换如下：
得到方程组Ax=0
同解方程组得Ax=0
的一个基础解系为
（2）显然B 矩阵是一个4×3矩阵，设对矩阵（AE ）进行初等行变换如
下：
由方程组可得矩阵B 对应的三列分别为
即满足AB=£；
的所有矩阵为
其中为任意常数.
4．
已知矩阵
可逆矩阵P ，使
和
若不相似则说明理由.
试判断矩阵A 和B 是否相似，若相似则求出
【答案】由矩阵A 的特征多项式
得到矩阵A
的特征值是
由矩阵B 的特征多项式
得到矩阵B
的特征值也是
当
时，由秩
知
A 可以相似对角化.
而
有2个线性无关的解，
即
时矩阵A 有2个线性无关的特征向量，矩阵
时矩阵B 只有1个线性无
只有1个线性无关的解，即
关的特征向量，矩阵B 不能相似对角化. 因此矩阵A 和B 不相似.
二、计算题
5． 设x 为n 维列向量
.
【答案】对称性
：正交性
：
令
证明H 是对称的正交阵.
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