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一、证明题

1． 设f 在

(2

)

【答案】(1) 由得

并且对一切

故f 在R 上连续. (2) 对整数

有

所以

于是对任何有理数r 有上连续，有

2． 求

对任何无理数

故对任何

在区间

上的傅里叶级数展开式，并由此证明：

【答案】因为

在

上可积，所以可展开成傅里叶级数. 而

故

显然，当

时，

连续，故

当x=0时，级数收敛汙

于是由式(1) 可得

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连续，且对任何

有证明：

(1) f 在R 上连续；

可知

于是

由f 在x=0连续可

存在有理数列

使由f 在R

即再在式(1) 中，令可得

3． 设

证明：

【答案】

所以

二、解答题

4． 求下列函数的傅里叶级数展开式：

【答案】(1) f (x ) 是以为周期的连续奇函数，故

由收敛定理

(2) f (x ) 是以2π为周期的连续偶函数，故

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由收敛定理

5． 计算下面的三重积分：

⑴(2) 其中

则

(2) 作新坐标系换(

从坐标系

使轴过点

且使坐标系

到坐标系

之间的变换为正交变到坐标系则由(1) 知

6． 为了使计算出球的体积准确到1%，问度量半径为时允许发生的相对误差至多应为多少？

【

答

案

】

球

的

体

积

公得

解得

即测量半径时允许发生的相对误差至多应为0.33%.

式

为

于

是之间的

坐标系

可通过旋转变换来实现，因此从坐标系

【答案】(1) 作柱坐标变换：

正交变换是存在的) ，变换的行列式为1.

显然该变换将半径为R 的球仍变为半径为R 的球. 记

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