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一、证明题

1． 证明：若在则有

【答案】

设分点的任何取法，只要

上可积，在

则由定积分定义，

对任给的

就有

由

现设

在由于

时，恒有

和

对于

上对

令

上的任何分割

用拉格朗日中值定理，得

，则

得从而当

的一个分

割时(此时

且

故

即

2． 1) 证明：若数列

满足下列条件之一，则

是无穷大数列：

上严格单调且在上可积，使得对

的任何分割

及

上可积知

，

在

在上有界. 设如果

则此时

结论显然成立。

上连续，

又由于在

上可积，故有界，又由导函数的达布

使得当

及任意分点

在

且

定理知没有第一类间断点，故

在

上连续. 从而一致连续，故存在

满

足

有

且

2) 利用1) 题(1) 的结论求极限：

1)(1) 因为【答案】时，

于是

由此得，当n>N时，所以

也是无穷大数列. (2) 因为

，设r 是一个满足不等式

于是，当n>N时，

因为r>l, 所以

2)(1)

是无穷大数列. 因此，

是无穷大数列，即

是无穷大数列.

的实数，由数列极限的保号性知，存

，由

知

是无穷大数列，

所以对于

存在正整数N ，使得当n>N

在正整数N ，使得当n>N时，

根据上题(1) 的结论有

(2)

于是

所以

故

二、解答题

3． 求下列全微分的原函数：

【答案】(1) 因(2) 由于

故原函数为

故原函数为 4． 求取外侧.

【答案】球面在点(X ，y ，z ) 处的法向量为

其中S 是球面

的第一卦限部分，

由两类曲面积分的关系，有

其中作极坐标变换，有

5． 求下列函数的高阶导数：

【答案】

由莱布尼茨公式有