2017年北京邮电大学数学分析、高等代数、概率论综合考试之高等代数复试实战预测五套卷
● 摘要
一、分析计算题
1． 由行列式定义计算
中一项 义
与的系数，并说明理由.
的展开式中X 的4次项只有一项：
故的系数为-1.
分利用下列式子定
故
的系数为
的3次项也只有
【答案】
2． 设v 是定义域实数集R 的所有实函数组成的集合，对于
则v 成为实数域上的一个线性空间. 设
（1）判断（2）用
表示
【答案】（1）令分别将
代人①式得
解捐（2）令
线性无关.
是直和，即_
是直和.
是否线性相关，写出理由； 生成的线性子空间，判断
即
是否为直和.
3． 求三阶矩阵
的Jordan 标准型. 【答案】特征矩阵为
将其对角化可得
故A 的若当标准形为
4． 试求以
【答案】
设这时令
下证f （x ）在
上不可约. 由于f （x ）如果有有理根，必为±1，但±1都不是f （x ）的根.
上分解为两个二次式之积，即
其中
比较①式两边系数得
由⑤知时，
得
5． 设B 是实数域上
【答案】（1）
为根的有理系数的不可约多项式.
且以
为根，
则根式
也一定是f （x ）的根.
故f （x ）不可能分解为一个一次式与一个三次式之积. 其次，如果f （x ）在Q （x ）上分解为两个二次式之积，那么必可在
或b=d=—1. 当b=d=l时，由②得所以在
也不可能.
因此上不可约，即为所求. 矩阵，
再由③得即矛盾. 当
不可能分解为两个二次式之积. 综上可知
对任一大于0的常数n , 证明定义了
单位矩阵.
的一个内积，使得成为欧氏空间. 其中表示列向量的转置，E 表示
（2）
（3）
（4）
由于
的一个内积，从而成为欧氏空间.
6．
设
的一次齐次式，证明:
【答案】设
经可逆线性替换
的正惯性指数
负惯性指数
所以
由上可知
，
定义了
上
是
化为规范形：其中
分别是
如果
我们用反证法来证明
考虑
的正、负惯性指数.
的齐次线性方程组
这个齐次线性方程组有n 个未知量，而有
个方程，因此有非零解，设
是一个非零解，代入得
又因但是又有
所以，
不全为0，因而
矛盾，所以