2017年大理大学高等代数(同等学力加试)考研复试核心题库
● 摘要
一、分析计算题
1． ①利用若尔当标准形证明：方阵A 的特征根全是
②证明：若
则
【答案】①设A 的若尔当标准形为
则
存在正整数m 使
由此得
即A 的特征根全是0.
反之，若A 的特征根全是0, 则A 的若尔当标准形J 中的若尔当块必为
取正整数
所有的阶数，则必有
从而
于是
②设A 的若尔当标准形为
由于
故由上知A 的特征根全为0. 于是每个若尔当块的主对角线上元素全为0, 从而J
故
对任一大于0的常数n ，证明
定义
2． 设B 是实数域上n ×n 矩阵，了
【答案】（1）
（2）
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的主对角线上元素全为0，因此
的一个内积，使得成为欧氏空间. 其中表示列向量的转置，E 表示n ×n 单位矩阵.
（3）
（4）
由于由上可知，
3． 证明与下述若尔当块
所以
定义了上的一个内积，从而成为欧氏空间.
交换的矩阵一定是A 的多项式. 【答案】方法1设
满足
计算
自由。
故
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又可计算得
故
基下的矩阵为A ，于是有
是A 的多项式.
作线性变换
使它在上述
方法2运用空间观点. 取n 维线性空间V , 给定一组基
或
这样基组合. 设
其中在上的
是 像.
是
的某个多项式
.
故是
与
在V 的任一向量上的作用都相同. 因此
由线性变换的等式
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可写成而V 中任一向量都是基的线性
的多项式. 这证明了 V 中任一向量都是的某个多项式在这种线性变换作用
现设是V 上的线性变换，与交换. 来证明
它必是
其中_
是
的某个多项式，又对V 的任一向量
下矩阵为B , 且有
于是
又设矩阵B 满足BA=AB.作线性变换它在基的一个多项式
就得到对应的矩阵的等式B=f （A ）.