2017年大理大学高等代数(同等学力加试)复试仿真模拟三套题
● 摘要
一、分析计算题
1． 设A 为n 阶复方阵. 证明：存在一个n 维向量的每一个特征根恰有一个线性无关的特征向量
【答案】取且由
由于
使n 维向量组
则P 是可逆矩阵，
：线性无关，所以可令
使
线性无关的充要条件是A
可得
由此可得A 的不变因子为令
从而有A 的若当标准形
可见r
则
A
所以
的初等因子
为
所以A 的每个特征子空间的维数均为1, 即A 的每个特征根恰有一个线性无关的特征向量
.
如果A 的每个特征根恰有一个线性无关的特征向量，则对A
的任一特征根
从而A 的若当标准形
右
中不同若当块的对角线元素互不相同，因此A 的特征多项式与最小多项式相等. 设A 的最小多项式为
则A 与
有相同的不变因子，因而A 与B 相似.
令则即取
则有
且
2． 设K ，F , E都是数域，满足空间E 是有限维的.
【答案】设
是K 上线性空间E 的基. 事实上，
由
是线性空间
的基，可设
由于是
故（6-11）是设
由
是线性空间FE 的基，
则
的基，
是
的基，
故
于是
的生成元. 是线性空间
的基，可设
.
它们的基分别是
下面证明
线性无关.
则在通常的运算下，F 和E 都是K 上的线性空间. 假定
且
作为K 上的线性空间F 是有限维的，作为F 上的线性空间E 是有限维的，求证作为K 上的线性
（6-11）线性无关.
综上所述，（6-11）是线性空间
3． a ，b 取何值时以下方程组有解？并求其解：
【答案】对增广矩阵施行初等行变换：
由的前三列可知，原方程组的系数行列式D=a（b-1）（b+1）. 因此，当D ≠0即a ≠0，±1时，由可知原方程组有唯一解为
① 当b=l时，由知原方程组有无穷多解为
r =2.但由的后三列所构成的行列式等于，当a=0时，由B 的第二、三列知，（A ）（b-5）（1-b ）从而b=5（b=l上面已有结论）时
此时原方程组也有无穷多解为
②当b=-l时由最后一行知，原方程组无解. 又当a=0且b ≠l ，5时由①知，此时也无解.
4． 先求下列各矩阵在实数域上的初等因子，再求其不变因子和标准形：
【答案】分别用
表示以上两个矩阵
.
因此，素为
的不变因子为
的三阶矩阵即为
在实数域上的初等因子为
故
的不变因子为（秩为3）
因此，主对角线上元素为
的四阶对角矩阵即为矗
的标准形.
的标准形
.
故主对角线上元
在实数域上的初等因子为