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一、综合题

1． 设

线性时不变离散时间系统的差分方程如下：

其中响应。 【答案】已知

线性时不变离散时间系统的差分方程为：

对上式差分方程取Z 变换得系统函数为：

由求得的系统函数可得： ①频率响应：

②幅值响应：

③相位响应：

2． 设

为两点序列

再求

其

试求其

然后在序列

后补两个零，使

其成为四点序

列

从两者的DFT 结果比较，显然有

分别表示输出和输入序列。试求出该线性时不变系统的频率响应、幅值响应和相位

请解释为何不相等，并作图说明。

【答案】根据当

补零后变为

，可得：

此时N=4, 计算4点的蝶型图1为：

图1

此时有

从以上计算结果可以看出，

即有

而

样X （k

）是在

所以本题中计算的

是在

上进行两点采

在

补零后，序列的傅里叶变换DTFT 是不变的，

上进行四点采样，如下图2所示；即采样的谱线变密了，

此时显然有

图2

3． 设某FIR 数字滤波器的系统函数为：线性相位系统，并画出该滤波器的结构流图。 【答案】由系统函数

得该滤波器的单位取样响应为：

显然满足线性相位条件

该滤波器的线性相位结构如图所示：

判断该系统是否为

图

4．

已知一个模拟系统的传输函数

（1）求数字系统的系统函数（3）求数字系统的频率响应【答案】（1）双线性变换得：

现在用双线性变换法将其变换为数字系统，

设

是

的良好逼近？

和单位取样响应

在什么条件下，

（2）写出数字系统的差分方程，并分析根据差分方程实现该系统时会有什么问题；

将上式写成下列形式：

求

的逆z 变换，得：

（2）由式由式

可写出系统的差分方程：

可看出，系统的极点为

它位于单位圆上。若系统是因果的，则系统函数的收敛域是

的差分方程实现的系统是

半径大于1的圆外区域。这样，单位圆不在收敛域内，因此根据式不稳定的。

（3）数字系统的频率响应为：

幅度响应为为：

原模拟系统的幅度响应为：

下图所示的是变换得到的数字系统和变换前的模拟系统的幅度响应图形，如图所示

图

由图可以看出，在

5． —个线性时不变因果系统由下面的差分方程描述

（1）求系统函数

的收敛域；

（2）求该系统的单位取样响应； （3）求该系统的频率响应。

【答案】（1）对差分方程两端进行Z 变换，可以得到

则系统函数

范围内，

是

的良好逼近。