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一、计算题

1． 设二维随机变量（X , Y ）服从圆心在原点的单位圆内的均匀分布，求极坐标

的联合密度.

【答案】因为（X , Y ）服从圆心在原点的单位圆内的均匀分布，所以（X , Y ）的联合密度函数为

’记

，则

所以

，由此

得

'

和

的联合密度函数为

2． 某工程队完成某项工程的时间X （单位:月）是一个随机变量，它的分布列为

表

1

（1）试求该工程队完成此项工程的平均月数；

（2）设该工程队所获利润为Y=50（13-X ），单位为万元. 试求工程队的平均利润； （3）若该工程队调整安排，完成该项工程的时间

表

2

则其平均利润可增加多少？ 【答案】（1

）程平均需11个月.

（2）100万元.

（3）调整安排后，

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（单位:月）的分布为

. 该工程队完成此项工该工程队所获平均利润为

所以平均利润为

由此得平均利润可增加120—100=20（万元）.

3． 设随机变量

【答案】因为

中任意两个的相关系数都是

试证:

，

所以 4． 设

是来自

的样本，试求

和

5． 设总体

【答案】由于总体其均方误差为

将上式对a 求导并令其为0, 可以得到当

时，

最小. 且

这就证明了在均方误差准则下存在一个优于的估计. 这也说明，有偏估计有时不比无偏估计差.

6． 设

是其样本，的矩估计和最大似然估计都是，它也是的相

下存在优于的估计.

，

现考虑形如

的估计类，

，所以

该样本容量为n 因而得

【答案】均匀分布

的均值和方差分别为0和

由此得

合估计和无偏估计，试证明在均方误差准则

是独立同分布的随机变量，其共同的密度函数为

试求【答案】先求所以当这是贝塔分布

的密度函数、数学期望和方差.

的分布函数. 当时，Y 的密度函数为

由此得

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时，

7． 设A ，B , C 两两独立，且

（1）如果（2）如果

，试求x 使. ，且

达到最大.

求.

【答案】三个事件A ，B ，C 两两独立是指仅成立

而不要求

不然. 这里由A , B , C 两两独立，且

（1）由

三项式的最大值在x=0.5达到.

（2）由，

8． 设

解得两个解为

，而

不符题意，

所以得

C 相互独立必导致两两独立，成立. 可见A , B ，反之，可得

知

，而

这个二次

为独立同分布的随机变量序列，其共同分布为

是否服从大数定律？

试问

【答案】因为

即

存在，所以由辛钦大数定律知

服从大数定律.

二、证明题

9． 设随机变量X 与Y 独立同分布，且都服从标准正态分布

试证明:【答案】设

相互独立. 则

所以

. 由此得

和

的联合密度为

所以

可分离变量，即U 与V 相互独立.

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