2018年复旦大学生命科学学院861概率论与数理统计考研强化五套模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 设
是来自指数分布
的一个样本，，对如下检验问题:
，于是
同理可得在原假设检验拒绝域
譬如，若两样本量与样本均值分别为在给定显著性水平
可查表得
从而得拒绝域
它不在拒绝域内，故不能拒绝原假设.
2． 设二维随机变量（x , y ）的联合分布函数
为
（1）（2）（3）（4）（5）【答案】⑴（2）
（3）
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是来自另一指数分布的
一个样本，且两样本相互独立，若设
在显著性水平为的场合给出拒绝域.
【答案】由于指数分布是特殊的伽玛分布，具体是
，由两样本相互独立可知
成立下，有
，从而有
，
，如令，
试
用表示下列概率:
•
（5）
3． 设总体X 的3阶矩存在，若为样本方差，试证:
【答案】注意到
其中
. 而
又
由此，
4． 一间宿舍内住有5位同学，求他们之中至少有2个人的生日在同一个月份的概率.
【答案】将此问题看成是:5个球放入12个盒子中去的盒子模型，由盒子模型可得 P （至少有2个人的生日在同一个月份）=l—p （5个人生日全不同月）
5． 测量到某一目标的距离时，发生的随机误差X （m ）具有密度函数
求在三次测量中，至少有一次误差的绝对值不超过30m 的概率. 【答案】记Y 为三次测量中误差的绝对值不超过30m 的次数，则测量中误差的绝对值不超过30m ”的概率，由
可知
所以“三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过30m ”的概率为
6． 设随机变量问d 至多为多少？
【答案】⑴
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是取自该总体的简单随机样本，
为样本均值，
其中P 为“一次
，（1）求；（2）求；（3）设d 满足
，
（3）由
查表得
，由此解 得
，故d 至
多取0.154.
7． 为估计鱼塘里有多少鱼，一位统计学家设计了一个方案如下:从鱼塘中打捞出一网鱼，计有n 条，涂上不会被水冲刷掉的红漆后放回，一天后再从鱼塘里打捞一网，发现共有m 条鱼，而涂有红漆的鱼则有k 条，你能估计出鱼塘里大概有多少条鱼么？该问题的总体和样本又分别是什么呢.
【答案】直观上我们可以给出鱼数的估计，按照成比例的设想，我们应能估算出鱼塘里大概有
条鱼，这就是频率替换的思想. 该问题中总体为鱼塘里所有的鱼，而样本为一天后从鱼塘
里打捞出的鱼，主要观测其是否有记号.
8． 设某一设备装有3个同类的电器元件，元件工作相互独立，且工作时间都服从参数为
【答案】
记
为第i 个元件的工作时间，
则
的指
数分布，当3个元件都正常工作时，设备才正常工作，试求设备正常工作时间T 的概率分布.
独立同分布，其共同的密度
函数和分布函数分别为
由题设条件知，当3个元件都正常工作时，设备才正常工作，这等价于“3个元件中有一个失效，则此设备就停止工作”，故设备正常工作时间
，所以T 的密度函数为
这表明:设备正常工作时间T 服从参数为
9． 向
的指数分布.
中随机投掷一点P ，求P 点到AB 的距离X 的数学期望、方差与标准差.
的高CD ，记CD 的长度为h （如图1）
.
【答案】先求X 的分布函数，作
图1
设X 的分布函数为F （X ），则当当作
时，有
而当
时，有时，为了求概率
；
，
，使EF 与AB 间的距离为X. 利用确定概率的几何方法，可得
综上可得
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