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一、计算题

1． 设随机变量X 的密度函数p （x ）关于c 点是对称的，且E （X ）存在，试证:

（1）这个对称中心c 既是均值又是中位数，即（2）如果

则

因此

所以得

，又由

所以

（2）当c=0时，

又由

由此得结论. 2． 设

独立同分布，且都服从

分布，试求

是否服从大数定

的分布.

，由此得

【答案】（1）由p （X ）关于C 点对称可知:

【答案】因为的特征函数为

所以由诸的相互独立性得的特征函数为这正是正态分布

3． 设律？

【答案】因为

的特征函数，所以由唯一性定理知

服从参数为

的泊松分布，试问

为独立的随机变量序列，其中

所以由马尔可夫大数定律知

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服从大数定律.

4． 设随机变量X 仅在区间上取值，试证:

【答案】仅对连续随机变量X 加以证明. 记p （x ）为X 的密度函数，因为

同理可证:

. 由上题的结论知

注:此命题表明有界随机变量的数学期望和方差总是存在的.

5． 设随机变量X 的分布函数为

试求X 的概率分布列及【答案】X 的概率分布列为

表

1

6． 设随机变量X 的概率密度为

记随机变量

（1）求Y 密度函数； （2）计算当当

时,

时,

.

【答案】 （Ⅰ）先求Y 分布函数

；

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.

当

时,

当

时,

当

时,

.

故Y 概率密度为:

（2）由题意知

代入可得

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