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一、计算题

1． 若随机变量

【答案】方程

. ，而方程无实根等价于

无实根的概率为0.5, 试求. ，所以由题意知

由此得知.

2． 设X 与Y 是独立同分布的随机变量，且

试证:

【答案】

3． 利用切比雪夫不等式求抛均匀硬币多少次才能使正面朝上的频率落在为

如何才能更精确地计算这个次数？是多少？ 【答案】

均匀硬帀正面朝上的概率

据题意选取次数n 应满足

此式等价于

利用切比雪夫不等式估计上式左端概率的上界

再由不等式

可得粗糙的估计

即抛均匀硬币250次后可满足要求.

，若规定长度在范围

设

为n 次抛硬币中正面朝上的次数，

则有

间的概率至少

4． 由某机器生产的螺栓的长度（cm

）服从正态分布

内为合格品，求螺栓不合格的概率.

【答案】记螺栓的长度为X , 则

5． 设回归模型为

’现收集了15组数据，经计算有

后经核对，发现有一组数据记录错误，正确数据为（1.2, 32.6）, 记录为（1.5, 32.3）. （1）求（3）若

修正后的LSE ;

作修正，修正后的量分别记为

根据修正后的数据可计算得到

的LSE 为

（2）利用修正后的数据可计算三个平方和为

因而检验统计量查表知

拒绝域为

，若取显著性水平，由于检验统计量落入拒绝域，

这是一个非常小的概率，说明回归方程显著性很高. （3）对于而

其对应相应变量的预测值为

，查表知

.

因

（2）对回归方程作显著性检验

, 给出对应响应变量的0.95预测区间.

则

【答案】 （1）由于有一组数据记录错误，应将

因此回归方程是显著的. 此处，回归方程显著性检验的p 值为

此响应变量的0.95

预测区间

为

6． 为比较正常成年男女所含红血球的差异，对某地区156名成年男性进行测量，其红血球的样本均值为465.13（万/mm2）, 样本方差为样本均值为422.16, 样本方差为异？（取

）.

和

；对该地区74名成年女性进行测量，其红血球的

. 试检验:该地区正常成年男女所含红血球的平均值是否有差

【答案】设该地区正常成年男女所含红血球数分别记为X 和Y ,

并设

首先要检验两正态总体方差是否相等，为此先检验

为此使用F 检验，则检验的拒绝域为或

. 本题中，n=156，m=74，并已知

，而

因此观察样本不在拒绝域，即不能否定从而我们可在直接计算得

的条件下进一步检验

而

可用t 检验，则检验的拒绝域为:

由此可知检验统计量下的取值为

. 因此应拒绝原假设，即该地区正常成年男女所

含红血球的平均值有显著性差异，由于此问题中样本量很大，故采用渐近正态分布作检验也是合适的，结果是一致的.

7． 一袋中装有20个大小相同的三种颜色的球, 其中第一种为红球有16个, 第二种为黄球有3个, 第三种为绿球有1个. 现在随机地从中任取一球, 记

（1）求随机变量（2）问随机变量【答案】设事件（1）由题设知,

与

的联合分布； 是否相关.

. 于是

故

的联合概率分别如下表所示

表

1

两两互不相容

. {取到第i 种球},

（2）由上表可知与的分布分别为