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一、证明题

1． 给定曲面

（a , b , c 为常数）, 或由它确定的曲面z=z （x , y ）. 证明:

（1）曲面的切平面通过一个定点; （2） 函数z=z（x , y ）满足方程【答案】（1）因

及

与

不能同时为零, 得出

化简得

把它与过（a , b, c）点的切平面方程比较, 即知曲面z=z（x , y ）的切平面过定点（a , b , c ）. （2）对上式再求偏导数, 得

化简得

当

由函连续可微性, 知

2． 设f 在x=0连续, 且对任何

（1）f 在R 上连续； （2）

【答案】（1）由

.

可知f （0+0） =2f（0）, 于是f （0） =0.

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.

时, 即可看出成立.

对x=a或y=b时也成立. 有

. 证明:

由f 在x=0连续可得, 并且对一切

故f 在R 上连续. （2）对整数p , q （

）有

所以

于是对任何有理数r 有上连续, 有

3． 设

. 对任何无理数, 存在有理数列. 故对任何

, 其中

与v （y ）为[0, 1]上连续函数, 证明【答案】当

时,

由各项被积函数及其对x 偏导函数都连续, 所以

4． 证明:若f 在[a, b]上可积, 在则有

【答案】设点的任何取法, 只要

则由定积分定义, 对任给的

, 就有

由f （x ）在[a, b]上可积知, f （x ）在结论显

然成立.

现设定理知且

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, 使.

. 由f 在R

,

上严格单调且在上可积, ,

. , 使得对[a, b]的任何分割及分

上有界. 设. 如果M=0, 则f （x ）=0, 此时

,

由于

在上连续, 又由于

在

在上可积, 故有界, 又由导函数的达布

,

使得当

没有第一类间断点,

故

上连续. 从而一致连续, 故存在

时, 恒有

对

于

上的任何分割

‘上对

令

, 则得

用拉格朗日中值定理, 得

的一个分割. 从而当

时（此时

满足

且

故

即

5． 证明:函数

【答案】因为由于当

时,

极限不存在, 因而z （x , y ）在点（0, 0）关于x 的偏导数不存在. 同理可证它关于y 的偏导数也不存在.

在点（0, 0）连续但偏导数不存在.

所以函数

在点（0, 0）连续.

, 且

）, 有

及任意分

点

,

在

二、解答题

6． 设

求

【答案】

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