2018年华中农业大学园艺林学学院314数学(农)之概率论与数理统计考研核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 设罐中有b 个黑球、r 个红球，每次随机取出一个球，取出后将原球放回，再加入c （c>0）个同色的球. 试证:第k 次取到黑球的概率为
【答案】设事
件则显然有设
为“罐中有b 个黑球、r 个红球时，第i 次取到是黑球”，记
. 下用归纳法证明. ，则由全概率公式得
把k 次取球分为两段:第1次取球与后故有
类似有
所以代入（1）式得
由归纳法知结论成立.
2． 若总体X 服从如下柯西分布:
而
是它的一个样本，试求的估计量.
的估计量.
最小，则得
，很难说是
的一个合适的估计量，
次取球. 当第1次取到黑球时，罐中增加c 个黑球，
次取到黑球，
这时从原罐中第k 次取到黑球等价于从新罐（含b+c个黑球，r 个红球）中第
【答案】由于柯西分布不存在数学期望，因此不能用一阶矩法估计得到若用最小二乘法，即使
因为这时无偏性、有效性都失去意义，而且与同分布，
说明也没有起到汇集的信息的作用，因而，这个估计量的相合性也就无从谈起. 因此，我们转而讨论的最大似然估计. 其似然函数为
其对数似然函数为
对求导可得对数似然方程为
这个方程只能求数值解，比如用牛顿迭代法. 由于是总体分布的中位数，因此可以用样本中位数作为迭代的初值. 所求得的这个数值解即为的最大似然估计. 从似然角度看，该方法得到的估计要比样本中位数估计更好些.
3． 设二维随机变量（X ，Y ）的联合密度函数为
(1)
求(2)
求(3)求【答案】(1)
.
的非零区域与
的交集为图（a ）阴影部分，所以
(2)
的非零区域与
的交集为图（b ）阴影部分，所以
又因为
1
；
；
的非零区域与的交集为图（c ）阴影部分，所以
的交集为图（d ）阴影部分，所以
(3)的非零区域与
图
4． 将一枚硬币重复掷n 次，以X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数，试求X 和Y 的协方差及相关系数.
【答案】因为
且
所以
这表明:X 与Y 间是完全负相关. 这个结论早就藴含在线性关系式
之中.
5． 一个质点从平面上某点开始，等可能地向上、下、左、右四个方向随机游动，每次游动的距离为1，求经过2n 次游动后，质点回到出发点的概率.
【答案】因为每次都等可能地向上、下、左、右四个方向随机游动，所以经过2n 次游动后，样本空间中共有
设所求事件为2n 次，
此种样本点共有
当k 从0到n 累加起来就得事件
所含样本点总数
个， ，它为
由此得所求概率为
可算得:
6． 设随机变量
的联合分布列为
表
个样本点. ，事件
发生要求（1）上下游动次数相等；（2）左右游动次数相等，
否则不可能回到出发点，若上、下游动各k 次，那么左、右游动只能各n -k 次，这样共游动
试求的数学期望
相关内容
相关标签