2017年苏州大学数学科学学院618数学分析考研强化模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设
证明：
【答案】由拉格朗日中值定理知，
使得
因为上式右端大于0, 所以下面只需答:令
时，
当
原
不等式成立.
2． 设
也是【答案】
为上的凹函数.
由此推出
由凹函数定义，即知
是
上的凹函数.
3． 设函数f 在(a, b) 内可导，且单调. 证明在(a，b ) 上连续.
【答案】设内递增且以定理知，
因为f (x )
在
可导，所以
.
于是
由
的任意性知
在(a，b ) 内递増. 设
则
在某个
内递增且以
为上界，
在
为下界. 根据单调有界定理知，极限
都存在. 再由导数极限
上的凹函数，求证：
时
，
所以是
的最大值点. 于是
从而
则
显然
是
在
上的唯一驻点. 因为当
在(a, b) 内连续
4． 设
(1) 求(2) 求
【答案】(1) 易知
并讨论
在
上黎曼可积.
在t-1, 1]上的一致收敛性； (要说明理由)
在x=0点不是一致的，和
相似
.
对有
对有
有
对
所以(2) 由题意知
在[一1, 1]上内闭一致收敛.
5． 证明：函数项级数
【答案】由于对任意
的
，
有
在
的任意性可知和函数在
在
上不一致收敛，但和函数在所以存
在
〈一致收敛于0, 从而使
得
且由根式判别法易知
|上一致收敛，从而用数学归纳法可得和函数在1上无穷次可微.
在
上无穷次可微.
上不一致收敛. 由于对任意
的
收敛，
所以
上无穷次可微. 由
二、解答题
6． 判别下列反常积分的敛散性，若收敛，指出是绝对收敛？还是条件收敛？
（1）（2）（3）（4）（5）【答案】⑴
易知，当
又因为
而
所以当综上所述，
当（2）
其中
为
的瑕点，因为
与
同阶，所以
收敛，因因为
时有
所以
由泰勒公式得
所以
时绝对收敛；当
时条件收敛.
时绝对收敛；当
时发散.
时绝对收敛，当时条件收敛，当时发散。
为绝对收敛.
对积分
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